(q) xx-1+x-1x<2 xx+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo frações racionais:
Resolver xx-1+x-1x<2xx+1.
O conteúdo é inequação de frações racionais, e para resolver vamos precisar: 1) determinar o domínio, 2) trazer tudo para o mesmo lado, 3) unir em uma única fração, 4) estudar o sinal de numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro vamos determinar o domínio da expressão. Temos denominadores x-1, x e x+1, então
x-1neq0, xneq0, x+1neq0
ou seja:
xneq1, xneq0, xneq-1

Passo 3

Agora trazemos tudo para o lado esquerdo:
xx-1+x-1x-2xx+1<0
O próximo passo é unir essas três frações num único quociente. O denominador comum é x(x-1)(x+1). Então vamos escrever cada termo com esse denominador:
xx-1=xcdot x(x+1)x(x-1)(x+1), x-1x=(x-1),(x-1)(x+1)x(x-1)(x+1), 2xx+1=2xcdot x(x-1)x(x-1)(x+1)
Portanto a soma fica
x^2(x+1)+(x-1)^2(x+1)-2x^2(x-1)x(x-1)(x+1)<0

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Calculando cada parte:
x^2(x+1)=x^3+x^2, (x-1)^2(x+1)=x^3-x^2-x+1, -2x^2(x-1)=-2x^3+2x^2
Somando:
x^3+x^2 + (x^3-x^2-x+1) +(-2x^3+2x^2) =2x^2 -x +1
Então a inequação vira
2x^2 - x + 1x(x-1)(x+1)<0

Passo 5

Observamos que o numerador 2x^2 - x + 1 tem discriminante De, ou seja, é sempre positivo. Logo o sinal da fração é o mesmo do denominador x(x-1)(x+1). Queremos
x(x-1)(x+1)<0
Fazendo o quadro de sinais dos fatores com as raízes -1,0,1, vemos que o produto é negativo em
(-infty,-1)cup(0,1)

Passo 6

Concluindo, a solução da inequação é o conjunto dos valores de x que deixam o denominador negativo, respeitando o domínio. Dessa forma obtemos

Resposta

(-\infty,-1)\cup(0,1)

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