Seja
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Calcular
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Calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa calcular a integral definida
. Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a função que vamos integrar:
. Perceba que o numerador,
, é a derivada do denominador,
, multiplicada por 2. Isso é um sinal de que a substituição será uma boa estratégia aqui.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Aqui,
no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 5
Agora, precisamos atualizar os limites de integração de acordo com a substituição
:
- Quando
:
- Quando
:
Então, a integral fica:
Passo 6
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Aplicando isso na nossa integral definida:
Passo 7
Agora, avaliamos o logaritmo nos limites de integração:
Sabemos que
, então:
Resposta
Então, o valor da integral é: