Seja h(x)=x /(1+x^2).
Calcular I(h)=integral0^1 h(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a integral definida . Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a função que vamos integrar: . Perceba que o numerador, , é a derivada do denominador, , multiplicada por 2. Isso é um sinal de que a substituição será uma boa estratégia aqui.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = 1 + x^2
Agora, calculamos a derivada de dudx = 2x em relação a dx = du2x :
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Substituímos I(h) = integral0^1 xu cdot du2x e I(h) = 12 integralu(0)^u(1) 1u , du na integral original:
Aqui, no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 5

Agora, precisamos atualizar os limites de integração de acordo com a substituição u = 1 + 0^2 = 1 :
  • Quando u = 1 + 1^2 = 2 :
I(h) = 12 integral1^2 1u , du
  • Quando :
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral de integral 1u , du = ln|u| + C em relação a I(h) = 12 [ ln(u) ]1^2 é o logaritmo natural:
Aplicando isso na nossa integral definida:

Passo 7

Agora, avaliamos o logaritmo nos limites de integração:
I(h) = 12 ( ln(2) - ln(1) )
Sabemos que I(h) = 12 ln(2) , então:

Resposta

Então, o valor da integral é:
I(h) = 12 ln(2)

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