Determine se a série dada converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Justifique sua resposta e deixe claro o teste utilizado.
sumn=1^infty (-1)^nn^2+2

Passo 1

A série é sumn=1^infty (-1)^nn^2+2. O conteúdo aqui é séries alternadas e testes de convergência, e vamos precisar verificar primeiro a convergência absoluta e depois, se for o caso, a condicional.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty gl|(-1)^nn^2+2gr| = sumn=1^infty 1n^2+2

Passo 3

Usamos o teste de comparação com a série-p sum 1/n^2, que sabemos convergir (pois p=2>1). Note que para todo n>=1
0 < 1n^2+2 <= 1n^2
Como sum 1/n^2 converge, pela comparação direta sum 1/(n^2+2) também converge.

Passo 4

Concluímos que a série dos valores absolutos converge, logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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