Q06. Um fluxo de alimentação de líquido comprimido, que contém uma mistura equimolar de n-pentano (a) e n-hexano (b), flui na vazão F para dentro de uma unidade flash. No estado estacionário, 33,3 \% do fluxo de alimentação são vaporizados e saem do tanque como um fluxo de vapor, com uma vazão V. O restante sai como líquido, com vazão L. Se a temperatura do flash é de 20^{\circ} \mathrm{C}, qual é a pressão necessária? Quais as composições dos fluxos de saída e entrada? ( Resp.: \mathrm{P}=0,32 bar; \mathrm{xa}=0,40; ya =0,70 )

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação líquida com mistura equimolar de n-pentano (componente a) e n-hexano (componente b), ou seja a composição da alimentação é
z_a = z_b = 0,5.
Essa alimentação entra em um flash em regime estacionário com fração vaporizada
\varphi=\frac{V}{F}=0,333\quad\text{(isto é, }33{,}3\%\text{ vaporizado).}é
O restante sai como líquido com vazão L tal que L/F=1-\varphi=0,667. A temperatura do flash é 20^{\circ}\mathrm{C}.
As perguntas são:
  • Qual a pressão necessária do flash (valor de P)?
  • Quais as composições dos fluxos de saída e da entrada (ou seja, z_i, x_i e y_i)?
Informações relevantes dadas:
  • Alimentação equimolar: \;z_a=0,5.
  • Fração vaporizada: \;\varphi=0,333.
  • Temperatura do flash: \;20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão a ser determinada: P.
  • Precisaremos das pressões de vapor saturado \;P_i^{\text{sat}}(T) de n-pentano e n-hexano a 20^{\circ}\mathrm{C} para aplicar Raoult.

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (explicados de forma didática).
  1. Balanço total de matéria em regime estacionário:
F = V + L.
Definindo \varphi=V/F, temos L/F = 1-\varphi.
  1. Balanço de matéria por componente i (aqui i=a,b):
z_i F = y_i V + x_i L.
Dividindo por F e usando \varphi:
z_i = y_i \varphi + x_i (1-\varphi).
Isto é simplesmente: a fração do componente na alimentação é a média ponderada das frações nas fases vapor e líquido, ponderada pelas frações de fluxo.
  1. Equilíbrio líquido-vapor (assumindo solução ideal e lei de Raoult):
y_i P = x_i P_i^{\text{sat}}(T),
onde:
  • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor;
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida;
  • P é a pressão total do sistema (desconhecida);
  • P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor saturado pura do componente i na temperatura T.
Desse modo definimos o fator de equilíbrio
K_i \equiv \frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P},
e obtemos
y_i = K_i x_i.
  1. Substituindo y_i=K_i x_i no balanço por componente:
z_i = x_i\big[(1-\varphi)+\varphi K_i\big] = x_i\big[1+\varphi(K_i-1)\big].
Isolando x_i:
x_i = \frac{z_i}{1+\varphi(K_i-1)}.
Observação prática: para cada i essa expressão dá x_i em termos de K_i (que depende de P). A pressão P deve ser tal que as duas frações líquidas satisfazem \sum_i x_i =1. Isso resulta numa equação que permite determinar P.

Passo 3

Obter as pressões de vapor saturado \;P_i^{\text{sat}}(20^{\circ}\mathrm{C}) para n-pentano e n-hexano.
Usa-se a equação de Antoine (forma logarítmica base 10):
\log_{10} P^{\text{sat}}(\text{mmHg}) = A - \frac{B}{T(\!^\circ\mathrm{C})+C}.
Constantes (valores tabulados úteis):
  • Para n-pentano: A=6{,}85223,\; B=1064{,}84,\; C=232{,}0.
  • Para n-hexano: A=6{,}87630,\; B=1171{,}53,\; C=224{,}0.
Calcular P_a^{\text{sat}} (n-pentano) a T=20^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} P_a^{\text{sat}}(\text{mmHg}) =6{,}85223-\frac{1064{,}84}{20+232} =6{,}85223-\frac{1064{,}84}{252} \approx2{,}629.
P_a^{\text{sat}}(\text{mmHg})\approx10^{2{,}629}\approx425\\ \text{mmHg}.
Converter para bar ( 1\\ \text{mmHg}=0,00133322\\ \text{bar} ):
P_a^{\text{sat}}\approx425\times0{,}00133322\\ \text{bar}\approx0{,}566\\ \text{bar}.
Calcular P_b^{\text{sat}} (n-hexano) a T=20^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} P_b^{\text{sat}}(\text{mmHg}) =6{,}87630-\frac{1171{,}53}{20+224} =6{,}87630-\frac{1171{,}53}{244} \approx2{,}0733.
P_b^{\text{sat}}(\text{mmHg})\approx10^{2{,}0733}\approx118{,}6\\ \text{mmHg}.
Converter para bar:
P_b^{\text{sat}}\approx118{,}6\times0{,}00133322\\ \text{bar}\approx0{,}158\\ \text{bar}.
Resumo dos valores obtidos (usei a equação de Antoine e converti para bar):
P_a^{\text{sat}}(20^\circ\mathrm{C})\approx0{,}566\\ \text{bar},\qquad P_b^{\text{sat}}(20^\circ\mathrm{C})\approx0{,}158\\ \text{bar}.

Passo 4

Montar a equação para determinar P. Usando a fórmula de x_i:
x_i = \frac{z_i}{1+\varphi\left(\dfrac{P_i^{\text{sat}}}{P}-1\right)}.
Como z_a=z_b=0,5 e devemos ter x_a+x_b=1, escreve-se:
\frac{0,5}{1+\varphi\left(\dfrac{P_a^{\text{sat}}}{P}-1\right)} +\frac{0,5}{1+\varphi\left(\dfrac{P_b^{\text{sat}}}{P}-1\right)}=1.
Substituindo \varphi=1/3 e simplificando um pouco:
note que
1+\frac{1}{3}\left(\frac{P_i^{\text{sat}}}{P}-1\right)=\frac{1}{3}\!\left(2+\frac{P_i^{\text{sat}}}{P}\right).
Assim cada termo fica
\frac{0,5}{\dfrac{1}{3}\!\left(2+\dfrac{P_i^{\text{sat}}}{P}\right)} =\frac{1{,}5}{2+\dfrac{P_i^{\text{sat}}}{P}}.
Logo a condição x_a+x_b=1 é
\frac{1{,}5}{2+\dfrac{P_a^{\text{sat}}}{P}}+\frac{1{,}5}{2+\dfrac{P_b^{\text{sat}}}{P}}=1.
Dividindo por 1{,}5:
\frac{1}{2+\dfrac{P_a^{\text{sat}}}{P}}+\frac{1}{2+\dfrac{P_b^{\text{sat}}}{P}}=\frac{2}{3}.
Para resolver convenientemente, defina u=\dfrac{1}{P}. Com A=P_a^{\text{sat}} e B=P_b^{\text{sat}} obtemos a equação algébrica:
\frac{1}{2+Au}+\frac{1}{2+Bu}=\frac{2}{3}.
Multiplicando e arranjando essa identidade resulta numa quadrática simples em u. Fazendo os passos algébricos (multiplicando membros e simplificando) chega-se em:
2AB\,u^{2}+ (A+B)\,u -4 = 0.

Passo 5

Resolver a quadrática para u e retornar P=1/u. Usei os valores numéricos A=0{,}566\\ \text{bar} e B=0{,}158\\ \text{bar}.
Calcular parâmetros:
AB = 0{,}566\times0{,}158 \approx 0{,}089428, \qquad A+B \approx 0{,}724.
A equação é
2(0{,}089428)u^2 + 0{,}724\,u -4 = 0
ou numericamente
0{,}178856\,u^2 + 0{,}724\,u -4 = 0.
Resolver usando a fórmula de Bhaskara:
u = \frac{-(A+B) \pm \sqrt{(A+B)^2 + 32 AB}}{4AB}.
Calcule o discriminante:
(A+B)^2 + 32 AB \approx 0{,}724^2 + 32(0{,}089428) \approx 0{,}5242 + 2{,}8617 = 3{,}3859.
\sqrt{3{,}3859}\approx1{,}839.
Escolhendo a raiz positiva física:
u = \frac{-0{,}724 + 1{,}839}{4\times0{,}089428} = \frac{1{,}115}{0{,}357712}\approx3{,}116\\ \text{bar}^{-1}.
Portanto
P=\frac{1}{u}\approx\frac{1}{3{,}116}\approx0{,}321\\ \text{bar}\approx0{,}32\\ \text{bar}.
Comentário motivador: deu certinho com o valor esperado! Vamos agora calcular as composições.

Passo 6

Calcular x_a e y_a com P\approx0{,}321\\ \text{bar}.
Primeiro o K-valor de a:
K_a=\frac{P_a^{\text{sat}}}{P}=\frac{0{,}566}{0{,}321}\approx1{,}763.
Para b:
K_b=\frac{P_b^{\text{sat}}}{P}=\frac{0{,}158}{0{,}321}\approx0{,}492.
Usando
x_a=\frac{z_a}{1+\varphi(K_a-1)}
com z_a=0,5 e \varphi=1/3:
x_a=\frac{0,5}{1+\tfrac{1}{3}(1{,}763-1)} =\frac{0,5}{1+\tfrac{1}{3}\times0{,}763} =\frac{0,5}{1+0{,}2543} =\frac{0,5}{1{,}2543}\approx0{,}3988\approx0{,}40.
Agora y_a pela relação de equilíbrio y_a=K_a x_a:
y_a=1{,}763\times0{,}3988\approx0{,}703\approx0{,}70.
Verificação rápida das outras frações:
x_b=1-x_a\approx0{,}6012\approx0{,}60,\qquad y_b=1-y_a\approx0{,}297\approx0{,}30,
e também y_b = K_b x_b \approx0{,}492\times0{,}6012\approx0{,}296, consistente.

Resposta

P=0,32\\ \text{bar}
z_a=0,50 (alimentação)
x_a=0,40 (líquido saída)
y_a=0,70 (vapor saída)

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