5- Uma onda estacionaria em uma corda tensionada, fixa nas duas extremidades é expressa por y(x, t)=(0,024 \mathrm{~m}) \operatorname{sen}\left(52,3 \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{x}\right) \cos \left(480 \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{t}\right). Determine a velocidade da onda na corda e a distância entre os nós da onda estacionária. (R: 9,18 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 0,06 \mathrm{~m}).

Passo 1

O enunciado nos dá a forma da onda estacionária na corda:
y(x,t) = (0,024\\ \mathrm{m})\,\sin\!\left(52{,}3\\ \mathrm{m}^{-1}\,x\right)\cos\!\left(480\\ \mathrm{s}^{-1}\,t\right).
Informações relevantes passadas pelo enunciado:
  • Amplitude: \,A = 0{,}024\\ \mathrm{m}.
  • Número de onda: \,k = 52{,}3\\ \mathrm{m}^{-1} (peguei este valor do enunciado).
  • Frequência angular: \,\omega = 480\\ \mathrm{s}^{-1} (peguei este valor do enunciado).
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a velocidade da onda na corda.
  2. Determinar a distância entre os nós da onda estacionária.

Passo 2

Entendendo a relação que vamos usar para a velocidade: para uma onda harmônica progressiva unidimensional a forma típica é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)
(ou com +\omega t, depende do sentido). Nessa descrição:
  • \,k é o número de onda, com unidade \mathrm{m}^{-1}. Ele mede quantos radians por metro a fase varia.
  • \,\omega é a frequência angular, com unidade \mathrm{s}^{-1}. Ele mede quantos radians por segundo a fase varia no tempo.
    A velocidade de propagação (módulo da velocidade de fase) de tal onda é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
Explicação íntima e intuitiva: como a fase fixa kx-\omega t= constante implica x=(\omega/k)\,t+ constante, a posição da fase se desloca com velocidade \omega/k. No caso de onda estacionária, ela é formada pela superposição de duas ondas progressivas opostas com os mesmos \omega e k, portanto a velocidade de propagação das componentes é \omega/k (isso é a velocidade da onda que “originou” a estacionária).

Passo 3

Aplicando a fórmula para a velocidade com os números dados (peguei \omega e k do enunciado):
v=\frac{\omega}{k}=\frac{480\\ \mathrm{s}^{-1}}{52{,}3\\ \mathrm{m}^{-1}}.
Agora fazemos a divisão passo a passo (sem calculadora dá para ver a ordem de grandeza e depois arredondar):
\frac{480}{52{,}3}\approx 9{,}1797\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais, conforme a resposta indicada):
v \approx 9{,}18\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Entendendo os nós e a distância entre nós: na forma dada da onda estacionária
y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t),
os nós são os pontos em x onde a amplitude espacial \sin(kx) é sempre zero, independentemente do tempo. Logo os nós ocorrem quando
\sin(kx)=0 \quad\Rightarrow\quad kx = n\pi,\quad n \in \mathbb{Z}.
Portanto as posições dos nós são
x_n = \frac{n\pi}{k}.
A distância entre dois nós consecutivos (por exemplo entre x_n e x_{n+1}) é
\Delta x = x_{n+1}-x_n = \frac{(n+1)\pi}{k}-\frac{n\pi}{k}=\frac{\pi}{k}.
Outra maneira de ver: como \,k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, então \Delta x = \dfrac{\pi}{k} = \dfrac{\lambda}{2}. Ou seja, nós estão separados pela metade do comprimento de onda.

Passo 5

Calculando numericamente a distância entre nós com o k dado (peguei k do enunciado):
\Delta x = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{52{,}3\\ \mathrm{m}^{-1}}.
Fazendo a conta:
\Delta x \approx \frac{3{,}14159265}{52{,}3}\approx 0{,}06005\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais no centímetro (como no gabarito):
\Delta x \approx 0{,}06\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo físico e verificação rápida (checar consistência): usando \omega=480\\ \mathrm{s}^{-1} e k=52{,}3\\ \mathrm{m}^{-1} obtivemos v\approx 9{,}18\\ \mathrm{m/s} e \Delta x=\pi/k\approx 0{,}06\\ \mathrm{m}. Isso bate com o resultado indicado no enunciado, então está consistente. Força final: respira, revisa as fórmulas v=\omega/k e \Delta x=\pi/k — são as peças-chave para esse tipo de exercício.

Resposta

v = 9{,}18\\ \mathrm{m/s}
\Delta x = 0{,}06\\ \mathrm{m}

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