5- Uma onda estacionaria em uma corda tensionada, fixa nas duas extremidades é expressa por
. Determine a velocidade da onda na corda e a distância entre os nós da onda estacionária.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma da onda estacionária na corda:
Informações relevantes passadas pelo enunciado:
- Amplitude:
. - Número de onda:
(peguei este valor do enunciado). - Frequência angular:
(peguei este valor do enunciado).
O que o enunciado pede:
- Determinar a velocidade da onda na corda.
- Determinar a distância entre os nós da onda estacionária.
Passo 2
Entendendo a relação que vamos usar para a velocidade: para uma onda harmônica progressiva unidimensional a forma típica é
(ou com
, depende do sentido). Nessa descrição:
-
é o número de onda, com unidade . Ele mede quantos radians por metro a fase varia. -
é a frequência angular, com unidade . Ele mede quantos radians por segundo a fase varia no tempo.
A velocidade de propagação (módulo da velocidade de fase) de tal onda é dada por
Explicação íntima e intuitiva: como a fase fixa
constante implica
constante, a posição da fase se desloca com velocidade
. No caso de onda estacionária, ela é formada pela superposição de duas ondas progressivas opostas com os mesmos
e
, portanto a velocidade de propagação das componentes é
(isso é a velocidade da onda que “originou” a estacionária).
Passo 3
Aplicando a fórmula para a velocidade com os números dados (peguei
e
do enunciado):
Agora fazemos a divisão passo a passo (sem calculadora dá para ver a ordem de grandeza e depois arredondar):
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais, conforme a resposta indicada):
Passo 4
Entendendo os nós e a distância entre nós: na forma dada da onda estacionária
os nós são os pontos em
onde a amplitude espacial
é sempre zero, independentemente do tempo. Logo os nós ocorrem quando
Portanto as posições dos nós são
A distância entre dois nós consecutivos (por exemplo entre
e
) é
Outra maneira de ver: como
, então
. Ou seja, nós estão separados pela metade do comprimento de onda.
Passo 5
Calculando numericamente a distância entre nós com o
dado (peguei
do enunciado):
Fazendo a conta:
Arredondando para duas casas decimais no centímetro (como no gabarito):
Passo 6
Resumo físico e verificação rápida (checar consistência): usando
e
obtivemos
e
. Isso bate com o resultado indicado no enunciado, então está consistente. Força final: respira, revisa as fórmulas
e
— são as peças-chave para esse tipo de exercício.