Você deseja construir um contrabaixo com uma corda de 0,50 \mathrm{~m} de comprimento entre os dois pontos fixo. A corda possui densidade linear de 40,0 \mathrm{g} / \mathrm{m} e uma frequência fundamental igual a 200,0 \mathrm{~Hz}. Determine:
(a) tensão na corda;
(b) a frequência e o comprimento de onda para o segundo harmônico;
(c) a frequência e o comprimento de onda na corda para o segundo tom acima do fundamental (segundo sobretom).
(R: (a) 1600 N ; (b) 400 \mathrm{~Hz} ; 0,5 \mathrm{~m}; (c) 600,0 \mathrm{~Hz} ; 0,333 \mathrm{~m} ).

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede.
  • Dados fornecidos:
    • comprimento entre os pontos fixos da corda: L=0,50\\ \mathrm{m}.
    • densidade linear da corda: \mu=40,0\\ \mathrm{g/m}.
    • frequência fundamental: f_1=200,0\\ \mathrm{Hz}.
  • O que pedir:
    • (a) determinar a tensão na corda;
    • (b) determinar a frequência e o comprimento de onda para o segundo harmônico;
    • (c) determinar a frequência e o comprimento de onda para o “segundo tom acima do fundamental” (segundo sobretom).

Passo 2

Converter unidades e preparar dados numéricos úteis.
  • A densidade linear em unidades SI (quilograma por metro): \mu = 40{,}0\\ \mathrm{g/m} = 0{,}0400\\ \mathrm{kg/m}.Explicação curta: 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}, logo multiplica-se por 10^{-3}.

Passo 3

Relação entre comprimento da corda e comprimento de onda do fundamental (modo com duas extremidades fixas).
  • Para uma corda fixa nas duas extremidades, o modo fundamental tem meia onda ao longo da corda, logo o comprimento de onda fundamental \lambda_1 satisfaz
    \lambda_1 = 2L.
    Significado das variáveis: L é a distância entre os pontos fixos; \lambda é o comprimento de onda (distância entre dois pontos em fase na onda estacionária).
  • Calcular numericamente:
    \lambda_1 = 2\cdot 0,50\\ \mathrm{m} = 1{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar a velocidade da onda na corda usando a relação entre frequência e comprimento de onda.
  • Relação fundamental entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda:
    v = f\,\lambda.
    Aqui v é a velocidade da onda transverse que se propaga na corda.
  • Usando o modo fundamental:
    v = f_1\,\lambda_1 = 200{,}0\\ \mathrm{Hz}\times 1{,}00\\ \mathrm{m} = 200{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Relação entre velocidade, densidade linear e tensão; cálculo da tensão T.
  • Fórmula que liga velocidade da onda v, densidade linear \mu e tensão T:
    v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
    Explicação: essa fórmula vem da equação de onda para uma corda tensa; ela mostra que uma corda mais tensa tem ondas mais rápidas, e uma corda mais pesada (maior \mu) tem ondas mais lentas.
  • Isolando T:
    T=\mu v^2.
  • Substituindo valores:
    T = 0{,}0400\\ \mathrm{kg/m}\times (200{,}0\\ \mathrm{m/s})^2 =0{,}0400\times 40000{,}0\\ \mathrm{(kg\\ m/s^2)} =1600{,}0\\ \mathrm{N}.
    Observação: \mathrm{kg\cdot m/s^2}=\mathrm{N} (newton), a unidade de força/tensão.

Passo 6

Fórmulas gerais para os harmônicos de uma corda fixa nas duas extremidades e interpretação.
  • Para uma corda fixa nas duas extremidades, os modos possíveis têm comprimentos de onda dados por \lambda_n = \dfrac{2L}{n},e as frequências correspondentes são f_n = \dfrac{n v}{2L} = n f_1,onde n=1,2,3,\dots é o número do harmônico (modo). Aqui n=1 é o fundamental, n=2 é o segundo harmônico (primeiro overtone), n=3 é o terceiro harmônico (segundo overtone), etc.

Passo 7

Calcular (b): segundo harmônico ( n=2) — frequência e comprimento de onda.
  • Frequência:
    f_2 = 2 f_1 = 2\cdot 200{,}0\\ \mathrm{Hz} = 400{,}0\\ \mathrm{Hz}.
  • Comprimento de onda:
    \lambda_2 = \dfrac{2L}{2} = L = 0,50\\ \mathrm{m}.
    Alternativamente, usando v=f_2\lambda_2 \lambda_2=v/f_2=200{,}0/400{,}0=0,50\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular (c): “segundo tom acima do fundamental” — interpretar que é o segundo sobretom (ou seja, o terceiro harmônico, n=3) e calcular frequência e comprimento de onda.
  • Observação sobre nomenclatura: o primeiro sobretom (primeiro overtone) é n=2; o segundo sobretom é n=3. Por isso aqui usamos n=3.
  • Frequência:
    f_3 = 3 f_1 = 3\cdot 200{,}0\\ \mathrm{Hz} = 600{,}0\\ \mathrm{Hz}.
  • Comprimento de onda:
    \lambda_3 = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{2\cdot 0,50\\ \mathrm{m}}{3} = \dfrac{1{,}00}{3}\\ \mathrm{m} \approx 0,333\ldots\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 1600\\ \mathrm{N}
(b) 400\\ \mathrm{Hz};\\\ 0,50\\ \mathrm{m}
(c) 600{,}0\\ \mathrm{Hz};\\\ 0,333\ldots\\ \mathrm{m}

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