Você deseja construir um contrabaixo com uma corda de
de comprimento entre os dois pontos fixo. A corda possui densidade linear de 40,0
e uma frequência fundamental igual a
. Determine:
(a) tensão na corda;
(b) a frequência e o comprimento de onda para o segundo harmônico;
(c) a frequência e o comprimento de onda na corda para o segundo tom acima do fundamental (segundo sobretom).
(R: (a) 1600 N ; (b)
; (c)
).
(a) tensão na corda;
(b) a frequência e o comprimento de onda para o segundo harmônico;
(c) a frequência e o comprimento de onda na corda para o segundo tom acima do fundamental (segundo sobretom).
(R: (a) 1600 N ; (b)
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede.
-
Dados fornecidos:
- comprimento entre os pontos fixos da corda:
. - densidade linear da corda:
. - frequência fundamental:
.
- comprimento entre os pontos fixos da corda:
-
O que pedir:
- (a) determinar a tensão na corda;
- (b) determinar a frequência e o comprimento de onda para o segundo harmônico;
- (c) determinar a frequência e o comprimento de onda para o “segundo tom acima do fundamental” (segundo sobretom).
Passo 2
Converter unidades e preparar dados numéricos úteis.
- A densidade linear em unidades SI (quilograma por metro):
Explicação curta: , logo multiplica-se por .
Passo 3
Relação entre comprimento da corda e comprimento de onda do fundamental (modo com duas extremidades fixas).
-
Para uma corda fixa nas duas extremidades, o modo fundamental tem meia onda ao longo da corda, logo o comprimento de onda fundamental
satisfaz Significado das variáveis:é a distância entre os pontos fixos; é o comprimento de onda (distância entre dois pontos em fase na onda estacionária). -
Calcular numericamente:
Passo 4
Determinar a velocidade da onda na corda usando a relação entre frequência e comprimento de onda.
-
Relação fundamental entre velocidade
, frequência e comprimento de onda : Aquié a velocidade da onda transverse que se propaga na corda. -
Usando o modo fundamental:
Passo 5
Relação entre velocidade, densidade linear e tensão; cálculo da tensão
.
-
Fórmula que liga velocidade da onda
, densidade linear e tensão : Explicação: essa fórmula vem da equação de onda para uma corda tensa; ela mostra que uma corda mais tensa tem ondas mais rápidas, e uma corda mais pesada (maior) tem ondas mais lentas. -
Isolando
: -
Substituindo valores:Observação:
(newton), a unidade de força/tensão.
Passo 6
Fórmulas gerais para os harmônicos de uma corda fixa nas duas extremidades e interpretação.
- Para uma corda fixa nas duas extremidades, os modos possíveis têm comprimentos de onda dados por
e as frequências correspondentes são onde é o número do harmônico (modo). Aqui é o fundamental, é o segundo harmônico (primeiro overtone), é o terceiro harmônico (segundo overtone), etc.
Passo 7
Calcular (b): segundo harmônico (
) — frequência e comprimento de onda.
-
Frequência:
-
Comprimento de onda:Alternativamente, usando
dá .
Passo 8
Calcular (c): “segundo tom acima do fundamental” — interpretar que é o segundo sobretom (ou seja, o terceiro harmônico,
) e calcular frequência e comprimento de onda.
-
Observação sobre nomenclatura: o primeiro sobretom (primeiro overtone) é
; o segundo sobretom é . Por isso aqui usamos . -
Frequência:
-
Comprimento de onda:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)