Q10.17 Uma partícula se move em linha reta com velocidade constante e a distância entre a reta e a origem é igual a l. Em relação à origem, o momento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero? À medida que a partícula se desloca ao longo da reta seu momento angular em relação à origem varia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: Uma partícula move-se em linha reta com velocidade constante. A distância entre essa reta e a origem é igual a \,l.
  • Pergunta 1: Em relação à origem, o momento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero?
  • Pergunta 2: À medida que a partícula se desloca ao longo da reta, seu momento angular em relação à origem varia?

Passo 2

Definição e ideias básicas (sem pular etapas). O momento linear de uma partícula de massa m é o vetor
\vec{p}=m\vec{v},
onde \vec{v} é a velocidade da partícula. Observação importante: \vec{p} não depende da escolha da origem; é apenas a massa vezes a velocidade no referencial escolhido. Se a partícula tem velocidade constante e diferente de zero, então \vec{v}\neq\vec{0} e, portanto,
\vec{p}=m\vec{v}\neq\vec{0}.
Logo, salvo o caso trivial em que a partícula está em repouso ( \vec{v}=\vec{0}), o momento linear em relação à origem é diferente de zero.

Passo 3

Definição do momento angular relativo à origem e expressão em função de \vec{r} e \vec{v}. O momento angular de uma partícula em relação à origem é
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}=m\,\vec{r}\times\vec{v},
onde \vec{r} é o vetor posição da partícula em relação à origem. Como a velocidade é constante, a posição varia linearmente no tempo; podemos escrever a posição em qualquer instante t como
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}\,t,
onde \vec{r}_0 é a posição em um instante de referência (por exemplo t=0).

Passo 4

Cálculo do produto vetorial que aparece em \vec{L} e uso de propriedades do produto vetorial. Substituindo \vec{r}(t) em \vec{L} temos
\vec{L}(t)=m\bigl(\vec{r}_0+\vec{v}\,t\bigr)\times\vec{v}=m\bigl(\vec{r}_0\times\vec{v} + (\vec{v}\,t)\times\vec{v}\bigr).
Mas (\vec{v}\,t)\times\vec{v}=t\,(\vec{v}\times\vec{v})=\vec{0} porque o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero. Portanto
\vec{L}(t)=m\,\vec{r}_0\times\vec{v},
que é independente de t. Conclusão: o momento angular é constante no tempo (não varia à medida que a partícula se desloca).

Passo 5

Interpretação geométrica e expressão do módulo usando a distância perpendicular l. Recordando a fórmula do módulo do produto vetorial,
\lvert \vec{a}\times\vec{b}\rvert = \lvert\vec{a}\rvert\,\lvert\vec{b}\rvert\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Seja l a distância perpendicular da origem à reta de movimento. Tomando \vec{a}=\vec{r}_0 e \vec{b}=\vec{v}, a componente perpendicular de \vec{r}_0 à direção \vec{v} tem comprimento l, então
\lvert\vec{r}_0\times\vec{v}\rvert = \lvert\vec{v}\rvert\,l.
Assim o módulo do momento angular é
\lvert\vec{L}\rvert = m\,\lvert\vec{r}_0\times\vec{v}\rvert = m\,\lvert\vec{v}\rvert\,l = m v l,
onde v=\lvert\vec{v}\rvert. Isso mostra que o momento angular tem módulo constante e igual a m v l.

Passo 6

Outra maneira de ver conservação do momento angular (intuição física). A segunda lei de Newton dá \vec{F}=m\vec{a}. Como a velocidade é constante, \vec{a}=\vec{0} e logo \vec{F}=\vec{0}. O torque em relação à origem é \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{0}. Como \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau}, tem-se \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}, ou seja, \vec{L} é constante. Isso dá a mesma conclusão, agora com uma interpretação de forças/torques.

Passo 7

Casos especiais e observações finais. Se v=0 (partícula em repouso) então \vec{p}=\vec{0} e \vec{L}=\vec{0}. Se a reta passa pela origem então l=0 e \vec{L}=\vec{0} mesmo que \vec{p}\neq\vec{0}. Fora desses casos especiais, para uma partícula em movimento retilíneo uniforme a resposta padrão é: \vec{p}\neq\vec{0} e \vec{L} é diferente de zero (em geral) e não varia com o tempo.

Resposta

\vec{p}=m\vec{v}\neq\vec{0} (desde que \vec{v}\neq\vec{0}).
\vec{L}=m\,\vec{r}\times\vec{v}=m\,\vec{r}_0\times\vec{v} é constante no tempo; em módulo \lvert\vec{L}\rvert = m v l.

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