Q10.17 Uma partícula se move em linha reta com velocidade constante e a distância entre a reta e a origem é igual a
. Em relação à origem, o momento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero? À medida que a partícula se desloca ao longo da reta seu momento angular em relação à origem varia?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: Uma partícula move-se em linha reta com velocidade constante. A distância entre essa reta e a origem é igual a
. - Pergunta 1: Em relação à origem, o momento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero?
- Pergunta 2: À medida que a partícula se desloca ao longo da reta, seu momento angular em relação à origem varia?
Passo 2
Definição e ideias básicas (sem pular etapas). O momento linear de uma partícula de massa
é o vetor
onde
é a velocidade da partícula. Observação importante:
não depende da escolha da origem; é apenas a massa vezes a velocidade no referencial escolhido. Se a partícula tem velocidade constante e diferente de zero, então
e, portanto,
Logo, salvo o caso trivial em que a partícula está em repouso (
), o momento linear em relação à origem é diferente de zero.
Passo 3
Definição do momento angular relativo à origem e expressão em função de
e
. O momento angular de uma partícula em relação à origem é
onde
é o vetor posição da partícula em relação à origem. Como a velocidade é constante, a posição varia linearmente no tempo; podemos escrever a posição em qualquer instante
como
onde
é a posição em um instante de referência (por exemplo
).
Passo 4
Cálculo do produto vetorial que aparece em
e uso de propriedades do produto vetorial. Substituindo
em
temos
Mas
porque o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero. Portanto
que é independente de
. Conclusão: o momento angular é constante no tempo (não varia à medida que a partícula se desloca).
Passo 5
Interpretação geométrica e expressão do módulo usando a distância perpendicular
. Recordando a fórmula do módulo do produto vetorial,
onde
é o ângulo entre
e
. Seja
a distância perpendicular da origem à reta de movimento. Tomando
e
, a componente perpendicular de
à direção
tem comprimento
, então
Assim o módulo do momento angular é
onde
. Isso mostra que o momento angular tem módulo constante e igual a
.
Passo 6
Outra maneira de ver conservação do momento angular (intuição física). A segunda lei de Newton dá
. Como a velocidade é constante,
e logo
. O torque em relação à origem é
. Como
, tem-se
, ou seja,
é constante. Isso dá a mesma conclusão, agora com uma interpretação de forças/torques.
Passo 7
Casos especiais e observações finais. Se
(partícula em repouso) então
e
. Se a reta passa pela origem então
e
mesmo que
. Fora desses casos especiais, para uma partícula em movimento retilíneo uniforme a resposta padrão é:
e
é diferente de zero (em geral) e não varia com o tempo.