Q10: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{4}
Seja \beta=\left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}, \vec{q}_{4}\right\}, \text { com } \vec{q}_{2}=\left[\begin{array}{r}
-2 \\
1 \\
2 \\
-3
\end{array}\right]
Encontre um vetor \vec{x} \in H^{\perp}, com \vec{x} \neq \overrightarrow{0}. Calcule x_{3} / x_{4} :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
(E) Não sei
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
Há uma base ortogonal de \mathbb{R}^4 chamada \beta=\{\vec{q}_1,\vec{q}_2,\vec{q}_3,\vec{q}_4\}.
Foi fornecido apenas \vec{q}_2=\begin{bmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
O enunciado pede:
“Encontre um vetor \vec{x}\in H^{\perp}, com \vec{x}\neq\vec{0}. Calcule x_{3}/x_{4}.”
Informação faltante e razão da importância:
O enunciado NÃO define qual é o subespaço H. Isso é essencial, porque H^{\perp} (o complemento ortogonal de H) depende totalmente de quais vetores geram H. Sem saber H não dá para determinar unicamente H^{\perp}, logo não dá para obter um único valor para x_{3}/x_{4}.]
Passo 2
Explicação didática do que significa H^{\perp} e como normalmente se encontra um vetor em H^{\perp}.
Definição prática: \vec{x}\in H^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal a todo vetor \vec{h}\in H. Em fórmula:\vec{x}\in H^{\perp}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{x}\cdot\vec{h}=0\quad\text{para todo }\vec{h}\in H.
Produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^4: para \vec{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4)^T,\vec{x}\cdot\vec{v}=x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3+x_4v_4.
Como se constrói H^{\perp} em prática:
Se H=\operatorname{span}\{\vec{h}_1,\dots,\vec{h}_k\}, então \vec{x}\in H^{\perp} deve satisfazer o sistema linear\vec{x}\cdot\vec{h}_1=0,\quad \vec{x}\cdot\vec{h}_2=0,\\ \dots,\\ \vec{x}\cdot\vec{h}_k=0.
O espaço de soluções desse sistema é H^{\perp}. Sua dimensão é 4-k (se \vec{h}_i forem independentes).
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso em que H fosse, por exemplo, \operatorname{span}\{\vec{q}_2\} — para ver por que a falta de H torna a questão ambígua.
Se H=\operatorname{span}\{\vec{q}_2\}, então a condição \vec{x}\in H^{\perp} é simplesmente\vec{x}\cdot\vec{q}_2=0.Usando \vec{q}_2=\begin{bmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]-3\end{bmatrix} e \vec{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T, obtemos a equação-2x_1 + x_2 + 2x_3 - 3x_4 = 0.
Essa é UMA equação linear em quatro incógnitas. O conjunto de soluções tem dimensão 3: há muitas escolhas possíveis de \vec{x}\neq\vec{0}.
Consequência: x_3/x_4 não é determinado de forma única — pode variar conforme a escolha de \vec{x} dentro de H^{\perp}.]
Passo 4
Vou dar exemplos concretos para mostrar que diferentes vetores em H^{\perp} (no caso H=\operatorname{span}\{\vec{q}_2\}) produzem razões x_3/x_4 diferentes, provando que não há um valor único.
Exemplo A: escolha x_1=1,\;x_2=0,\;x_4=0. A equação fica-2(1)+0 + 2x_3 -3(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_3=2 \quad\Longrightarrow\quad x_3=1.Assim \vec{x}=(1,0,1,0)^T\in H^{\perp}. Aqui x_4=0, então x_3/x_4 não está definido (infinito) — já mostra que nem sempre a razão existe finita.
Exemplo B: escolha x_1=0,\;x_2=0,\;x_4=1. A equação fica0+0 + 2x_3 -3(1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_3=3 \quad\Longrightarrow\quad x_3=\tfrac{3}{2}.Aqui \vec{x}=(0,0,\tfrac{3}{2},1)^T\in H^{\perp} e\frac{x_3}{x_4}=\frac{3/2}{1}=\tfrac{3}{2}=1{,}5,que não é nenhuma das alternativas inteiras 1,2,3,0.
Exemplo C: escolha x_1=0,\;x_2=1,\;x_4=1. A equação fica0+1 +2x_3 -3(1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_3=2 \quad\Longrightarrow\quad x_3=1.Neste caso \dfrac{x_3}{x_4}=\dfrac{1}{1}=1, que é a alternativa (A). Mas vimos em B que a razão pode ser 1{,}5, e em A a razão é indefinida. Logo a razão x_3/x_4 NÃO é única.
Passo 5
Conclusão lógica e resposta final do tipo “não dá para saber” por falta de informação.
Sem a definição explícita de H (por exemplo, se H tem dimensão 1,2 ou 3 ou é gerado por quais vetores), não há como determinar unicamente um vetor \vec{x}\in H^{\perp} que conduza a um único valor de x_3/x_4.
Portanto, com os dados fornecidos, a única resposta correta é que não é possível saber (ou seja, a resposta não é determinada).