Determine as componentes de cada um dos vetor \overrightarrow{P_{1} P_{2}} abaixo.
P_{1}(5,-2,1) e P_{2}(2,4,2).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço tridimensional e pede as componentes do vetor que vai de um para o outro. Dados fornecidos:
  • P_{1}=(5,-2,1)
  • P_{2}=(2,4,2)
O que se pede: encontrar as componentes do vetor \overrightarrow{P_{1}P_{2}}.

Passo 2

Fórmula e ideia usada (explicação didática): para dois pontos em \mathbb{R}^3,
P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\qquad P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),
o vetor que vai de P_{1} para P_{2} é dado por subtrair as coordenadas de P_{1} das de P_{2}:
\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1},\;z_{2}-z_{1}).
Por que isso funciona (intuição): cada componente do vetor representa quanto se anda na respectiva direção coordenada para sair de P_{1} e chegar em P_{2}. Portanto, se a coordenada x de P_{1} é x_{1} e a de P_{2} é x_{2}, o deslocamento na direção x é x_{2}-x_{1}, e o mesmo vale para y e z.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos pontos dados, identificando:
x_{1}=5,\quad y_{1}=-2,\quad z_{1}=1,
x_{2}=2,\quad y_{2}=4,\quad z_{2}=2.
Calcula-se componente a componente:
x\text{-componente: }x_{2}-x_{1}=2-5=-3,
y\text{-componente: }y_{2}-y_{1}=4-(-2)=4+2=6,
z\text{-componente: }z_{2}-z_{1}=2-1=1.

Passo 4

Verificação rápida (checar consistência): somando o vetor ao ponto inicial deve dar o ponto final:
(5,-2,1)+(-3,6,1)=(5-3,\,-2+6,\;1+1)=(2,4,2)=P_{2},
ou seja, está correto.

Resposta

\overrightarrow{P_{1}P_{2}} = (-3,6,1)

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