Q9: Seja
H=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -4 \\\\ -3 \\\\ 10 \end{array}\right]\right\} .
e o vetor \vec{v}=(3,6,-9,12).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}.
(A) -3
(B) 3
(C) -2
(D) 2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá:
  • O subespaço H=\operatorname{span}\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\} com
\vec{b}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_2=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_3=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]-4\\[2pt]-3\\[2pt]10\end{pmatrix}.
  • O vetor \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]-9\\[2pt]12\end{pmatrix}.
  • Diz-se que \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} é o vetor de coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta de H. O que o exercício pede é: calcular a segunda entrada x_{2} desse vetor de coordenadas.
Informações relevantes extraídas:
  • Precisamos encontrar escalares x_1,x_2,x_3 tais que
x_1\vec{b}_1+x_2\vec{b}_2+x_3\vec{b}_3=\vec{v},
desde que \vec{v} esteja em H. Caso não exista solução, \vec{v} não pertence a H e, portanto, [\vec{v}]_{\beta} não existe.]

Passo 2

Vou traduzir a igualdade vetorial em um sistema linear para as incógnitas x_1,x_2,x_3. Escrevendo componente a componente,
x_1(1)+x_2(-1)+x_3(-3)=3,
x_1(1)+x_2(0)+x_3(-4)=6,
x_1(1)+x_2(2)+x_3(-3)=-9,
x_1(-3)+x_2(-1)+x_3(10)=12.
Em notação compacta, o sistema é
\begin{cases} x_1 - x_2 - 3x_3 = 3,\\[4pt] x_1 - 4x_3 = 6,\\[4pt] x_1 + 2x_2 - 3x_3 = -9,\\[4pt] -3x_1 - x_2 +10x_3 = 12. \end{cases}]

Passo 3

Explico rapidamente a técnica que vou usar: para resolver esse sistema faço eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) na matriz aumentada. Monto a matriz aumentada \big[A\mid \vec{v}\big] cujas colunas são os coeficientes de x_1,x_2,x_3 e o termo à direita:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -3 & 3\\[4pt] 1 & 0 & -4 & 6\\[4pt] 1 & 2 & -3 & -9\\[4pt] -3 & -1 & 10 & 12 \end{array}\right].
Agora vou aplicar operações de linha para triangularizar.]

Passo 4

Faço as operações passo a passo (cada operação é válida porque corresponde a combinação linear de equações):
  1. R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
R_2:\\ (1-1,\;0-(-1),\;-4-(-3),\;6-3) = (0,\;1,\;-1,\;3).
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3:\\ (1-1,\;2-(-1),\;-3-(-3),\;-9-3) = (0,\;3,\;0,\;-12).
  1. R_4 \leftarrow R_4 + 3R_1:
R_4:\\ (-3+3\cdot1,\;-1+3\cdot(-1),\;10+3\cdot(-3),\;12+3\cdot3) = (0,\;-4,\;1,\;21).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -3 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -12\\[4pt] 0 & -4 & 1 & 21 \end{array}\right].]

Passo 5

Continuo a eliminação usando R_2 como pivô na coluna 2.
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2:
R_3:\\ (0,\;3-3\cdot1,\;0-3\cdot(-1),\;-12-3\cdot3) = (0,\;0,\;3,\;-21).
  1. R_4 \leftarrow R_4 + 4R_2:
R_4:\\ (0,\;-4+4\cdot1,\;1+4\cdot(-1),\;21+4\cdot3) = (0,\;0,\;-3,\;33).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -3 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -21\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 33 \end{array}\right].]

Passo 6

Finalizo verificação: somei a linha R_3 com R_4 para ver consistência na última coluna:
R_3 + R_4 dá a equação
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + (3 + (-3))x_3 = -21 + 33,
isto é
0 = 12.
Isso é uma contradição (uma linha que diz 0=12). Em termos de sistemas lineares, uma linha 0=12 indica que o sistema é incompatível: não existe tripla (x_1,x_2,x_3) que resolva todas as quatro equações simultaneamente.

Passo 7

Interpretação do resultado (aula rápida e didática):
  • Pedir as coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta significa encontrar escalares x_1,x_2,x_3 tais que \vec{v}=x_1\vec{b}_1+x_2\vec{b}_2+x_3\vec{b}_3.
  • Se tal solução não existe, então \vec{v}\notin H, logo \vec{v} não tem coordenadas em relação a qualquer base de H; o vetor [\vec{v}]_{\beta} simplesmente não existe.
  • A eliminação mostrou exatamente isso: o sistema é incompatível, então \vec{v}\notin H e não há entrada x_2 para ser calculada.
Um exemplo simples para fixar a ideia: se H fosse um plano no \mathbb{R}^3 e \vec{v} estivesse fora desse plano, não existe combinação linear das duas direções do plano que gere \vec{v}; o mesmo aconteceu aqui no \mathbb{R}^4 com subespaço de dimensão até 3.

Resposta

(E) Não sei

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