e o vetor \vec{v}=(3,6,-9,12).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}.
(A) -3
(B) 3
(C) -2
(D) 2
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá:
O subespaço H=\operatorname{span}\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\} com
O vetor \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]-9\\[2pt]12\end{pmatrix}.
Diz-se que \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} é o vetor de coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta de H. O que o exercício pede é: calcular a segunda entrada x_{2} desse vetor de coordenadas.
Informações relevantes extraídas:
Precisamos encontrar escalares x_1,x_2,x_3 tais que
x_1\vec{b}_1+x_2\vec{b}_2+x_3\vec{b}_3=\vec{v},
desde que \vec{v} esteja em H. Caso não exista solução, \vec{v} não pertence a H e, portanto, [\vec{v}]_{\beta} não existe.]
Passo 2
Vou traduzir a igualdade vetorial em um sistema linear para as incógnitas x_1,x_2,x_3. Escrevendo componente a componente,
Explico rapidamente a técnica que vou usar: para resolver esse sistema faço eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) na matriz aumentada. Monto a matriz aumentada \big[A\mid \vec{v}\big] cujas colunas são os coeficientes de x_1,x_2,x_3 e o termo à direita:
Isso é uma contradição (uma linha que diz 0=12). Em termos de sistemas lineares, uma linha 0=12 indica que o sistema é incompatível: não existe tripla (x_1,x_2,x_3) que resolva todas as quatro equações simultaneamente.
Passo 7
Interpretação do resultado (aula rápida e didática):
Pedir as coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta significa encontrar escalares x_1,x_2,x_3 tais que \vec{v}=x_1\vec{b}_1+x_2\vec{b}_2+x_3\vec{b}_3.
Se tal solução não existe, então \vec{v}\notin H, logo \vec{v} não tem coordenadas em relação a qualquer base de H; o vetor [\vec{v}]_{\beta} simplesmente não existe.
A eliminação mostrou exatamente isso: o sistema é incompatível, então \vec{v}\notin H e não há entrada x_2 para ser calculada.
Um exemplo simples para fixar a ideia: se H fosse um plano no \mathbb{R}^3 e \vec{v} estivesse fora desse plano, não existe combinação linear das duas direções do plano que gere \vec{v}; o mesmo aconteceu aqui no \mathbb{R}^4 com subespaço de dimensão até 3.