O que o problema pede: determinar \operatorname{det}A.
Informações relevantes dadas:
A sequência exata de operações elementares aplicada a A para obter B (troca de linhas; adição de múltiplo de uma linha a outra; multiplicação de uma linha por escalar).
A matriz B explicitamente (todos os seus elementos).
Passo 2
Relembrando como cada operação elementar afeta o determinante (aqui explico de forma didática):
Trocar duas linhas (por exemplo trocar l_i com l_j) multiplica o determinante por -1. Intuição: trocar linhas inverte a orientação do espaço básico, por isso sinal trocado.
Substituir uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha (por exemplo l_k\leftarrow l_k + \lambda l_m com m\neq k) não altera o determinante. Intuição: determinante é multilinear e linearidade na linha k faz com que a adição de múltiplo de outra linha deixe o volume (determinante) inalterado.
Multiplicar uma linha por um escalar \alpha multiplica o determinante por \alpha. Intuição: determinante é homogêneo de grau 1 em cada linha.
Estas propriedades são padrão e essenciais para manipular determinantes via operações elementares.
Passo 3
Aplicando as propriedades ao nosso caso, como as operações foram aplicadas em sequência a A para obter B:
A troca l_{1}\leftrightarrow l_{2} multiplica o determinante por -1.
A operação l_{4}\leftarrow l_{4}-3l_{5} não altera o determinante (multiplica por 1).
A operação l_{3}\leftarrow 7 l_{3} multiplica o determinante por 7.
Logo o fator total que transforma \operatorname{det}A em \operatorname{det}B é (-1)\cdot 1 \cdot 7 = -7. Em símbolos:
Agora calculamos \operatorname{det}B. Observando B, vemos que todos os elementos acima da diagonal principal são 0:
na primeira linha, colunas 2,3,4,5 são 0;
na segunda linha, colunas 3,4,5 são 0;
na terceira linha, colunas 4,5 são 0;
na quarta linha, coluna 5 é 0.
Isto significa que B é uma matriz triangular inferior. Para matrizes triangulares (superior ou inferior) vale a propriedade:
o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
A diagonal principal de B é (-3,\,7,\,-4,\,-3,\,-6). Portanto