Q13: Após aplicarmos em uma matriz A as seguintes operações elementares em suas linhas
(1) Trocar l_{1} com l_{2},
(2) l_{4} \leftarrow l_{4}-3 l_{5},
(3) l_{3} \leftarrow 7 l_{3},
obtemos a matriz B=\left[\begin{array}{rrrrr}-3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -3 & 7 & 0 & 0 & 0 \\\\ -6 & -7 & -4 & 0 & 0 \\\\ 3 & 3 & 8 & -3 & 0 \\\\ -7 & 6 & 9 & -6 & -6\end{array}\right].
Assim \operatorname{det} A vale:
(A) -216
(B) 216
(C) 10584
(D) -10584

Passo 1

O enunciado dá que, a partir de uma matriz A, foram aplicadas em sequência as operações elementares nas linhas:
  1. trocar l_{1} com l_{2},
  2. l_{4}\leftarrow l_{4}-3l_{5},
  3. l_{3}\leftarrow 7 l_{3},
e o resultado dessa sequência é a matriz
B=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -3 & 7 & 0 & 0 & 0 \\\\ -6 & -7 & -4 & 0 & 0 \\\\ 3 & 3 & 8 & -3 & 0 \\\\ -7 & 6 & 9 & -6 & -6 \end{pmatrix}.
O que o problema pede: determinar \operatorname{det}A.
Informações relevantes dadas:
  • A sequência exata de operações elementares aplicada a A para obter B (troca de linhas; adição de múltiplo de uma linha a outra; multiplicação de uma linha por escalar).
  • A matriz B explicitamente (todos os seus elementos).

Passo 2

Relembrando como cada operação elementar afeta o determinante (aqui explico de forma didática):
  • Trocar duas linhas (por exemplo trocar l_i com l_j) multiplica o determinante por -1. Intuição: trocar linhas inverte a orientação do espaço básico, por isso sinal trocado.
  • Substituir uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha (por exemplo l_k\leftarrow l_k + \lambda l_m com m\neq k) não altera o determinante. Intuição: determinante é multilinear e linearidade na linha k faz com que a adição de múltiplo de outra linha deixe o volume (determinante) inalterado.
  • Multiplicar uma linha por um escalar \alpha multiplica o determinante por \alpha. Intuição: determinante é homogêneo de grau 1 em cada linha.
Estas propriedades são padrão e essenciais para manipular determinantes via operações elementares.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao nosso caso, como as operações foram aplicadas em sequência a A para obter B:
  • A troca l_{1}\leftrightarrow l_{2} multiplica o determinante por -1.
  • A operação l_{4}\leftarrow l_{4}-3l_{5} não altera o determinante (multiplica por 1).
  • A operação l_{3}\leftarrow 7 l_{3} multiplica o determinante por 7.
Logo o fator total que transforma \operatorname{det}A em \operatorname{det}B é (-1)\cdot 1 \cdot 7 = -7. Em símbolos:
\operatorname{det}B = -7\,\operatorname{det}A.
Desse modo
\operatorname{det}A = -\frac{1}{7}\,\operatorname{det}B.

Passo 4

Agora calculamos \operatorname{det}B. Observando B, vemos que todos os elementos acima da diagonal principal são 0:
  • na primeira linha, colunas 2,3,4,5 são 0;
  • na segunda linha, colunas 3,4,5 são 0;
  • na terceira linha, colunas 4,5 são 0;
  • na quarta linha, coluna 5 é 0.
    Isto significa que B é uma matriz triangular inferior. Para matrizes triangulares (superior ou inferior) vale a propriedade:
    o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
A diagonal principal de B é (-3,\,7,\,-4,\,-3,\,-6). Portanto
\operatorname{det}B = (-3)\cdot 7 \cdot (-4) \cdot (-3) \cdot (-6).

Passo 5

Calculemos o produto passo a passo (sempre em conta que cada número está em \mathbb{Z}):
(-3)\cdot 7 = -21,
-21\cdot (-4) = 84,
84\cdot (-3) = -252,
-252\cdot (-6) = 1512.
Logo \operatorname{det}B = 1512.

Passo 6

Voltando à relação encontrada em

Passo 7

\operatorname{det}A = -\frac{1}{7}\,\operatorname{det}B = -\frac{1}{7}\cdot 1512.
Fazendo a divisão \dfrac{1512}{7}=216 (verificação: 216\cdot 7=1512), obtemos
\operatorname{det}A = -216.

Resposta

-216

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