Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{4}{5}
(B) -\frac{1}{2}
(C) -\frac{3}{5}
(D) -\frac{3}{4}
(E) \frac{3}{5}
(F) -\frac{4}{5}
(G) \frac{1}{2}
(H) \frac{3}{4}
Passo 1
O enunciado dá a matriz R que representa uma rotação em \mathbb{R}^3:
Pede: qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Informações úteis do enunciado (listadas, sem resolver ainda): a matriz R é uma rotação em torno de um eixo que passa pela origem; a dica sugere determinar o eixo de rotação, escolher uma direção ortogonal ao eixo e calcular o ângulo entre esse vetor e sua imagem pela rotação.]
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): uma rotação em \mathbb{R}^3 em torno de um eixo que passa pela origem tem as seguintes propriedades úteis:
Existe um vetor não nulo v ao longo do eixo tal que R v = v. Ou seja, o eixo é um autovetor associado ao autovalor 1.
Se w é um vetor ortogonal ao eixo, então R w é outro vetor ortogonal ao eixo com \|R w\|=\|w\| (a rotação preserva normas). O ângulo de rotação \theta é o ângulo entre w e R w.
Portanto, uma estratégia prática: achar v resolvendo (R-I)v=0; escolher w com v\cdot w=0; calcular u=R w e então
\cos\theta=\frac{w\cdot u}{\|w\|\,\|u\|}.
Como \|u\|=\|w\|, isso simplifica para
\cos\theta=\frac{w\cdot u}{\|w\|^{2}}.
Passo 3
Achemos o eixo: resolver (R-I)v=0. É mais prático multiplicar por 45 e usar a matriz inteira
Resolvendo o sistema (A-45I)v=0\) para \(v=(x,y,z)^{T}\):
escrevemos as equações
\[\begin{cases} -16x+28y+20z=0,\\[4pt] -20x-10y-20z=0,\\[4pt] -28x+4y-10z=0. \end{cases}
Da segunda equação, dividindo por (-10], obtemos 2x+y+2z=0\quad\Rightarrow\quad y=-2x-2z.]