Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 29 & 28 & 20 \\\\ -20 & 35 & -20 \\\\ -28 & 4 & 35 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{4}{5}
(B) -\frac{1}{2}
(C) -\frac{3}{5}
(D) -\frac{3}{4}
(E) \frac{3}{5}
(F) -\frac{4}{5}
(G) \frac{1}{2}
(H) \frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado dá a matriz R que representa uma rotação em \mathbb{R}^3:
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}29 & 28 & 20\\[4pt]-20 & 35 & -20\\[4pt]-28 & 4 & 35\end{pmatrix}
Pede: qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Informações úteis do enunciado (listadas, sem resolver ainda): a matriz R é uma rotação em torno de um eixo que passa pela origem; a dica sugere determinar o eixo de rotação, escolher uma direção ortogonal ao eixo e calcular o ângulo entre esse vetor e sua imagem pela rotação.]

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): uma rotação em \mathbb{R}^3 em torno de um eixo que passa pela origem tem as seguintes propriedades úteis:
  • Existe um vetor não nulo v ao longo do eixo tal que R v = v. Ou seja, o eixo é um autovetor associado ao autovalor 1.
  • Se w é um vetor ortogonal ao eixo, então R w é outro vetor ortogonal ao eixo com \|R w\|=\|w\| (a rotação preserva normas). O ângulo de rotação \theta é o ângulo entre w e R w.
  • Portanto, uma estratégia prática: achar v resolvendo (R-I)v=0; escolher w com v\cdot w=0; calcular u=R w e então
\cos\theta=\frac{w\cdot u}{\|w\|\,\|u\|}.
Como \|u\|=\|w\|, isso simplifica para
\cos\theta=\frac{w\cdot u}{\|w\|^{2}}.

Passo 3

Achemos o eixo: resolver (R-I)v=0. É mais prático multiplicar por 45 e usar a matriz inteira
A=\begin{pmatrix}29 & 28 & 20\\[4pt]-20 & 35 & -20\\[4pt]-28 & 4 & 35\end{pmatrix},
pois (R-I)v=0 é equivalente a (A-45I)v=0. Calculemos A-45I:
A-45I=\begin{pmatrix}29-45 & 28 & 20\\[4pt]-20 & 35-45 & -20\\[4pt]-28 & 4 & 35-45\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-16 & 28 & 20\\[4pt]-20 & -10 & -20\\[4pt]-28 & 4 & -10\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolvendo o sistema (A-45I)v=0\) para \(v=(x,y,z)^{T}\): escrevemos as equações \[\begin{cases} -16x+28y+20z=0,\\[4pt] -20x-10y-20z=0,\\[4pt] -28x+4y-10z=0. \end{cases}
Da segunda equação, dividindo por (-10], obtemos
2x+y+2z=0\quad\Rightarrow\quad y=-2x-2z.]

Passo 5

Substituímos y=-2x-2z na primeira equação:
-16x+28(-2x-2z)+20z = -16x-56x-56z+20z = -72x-36z=0.
Isso dá 72x+36z=0, ou simplificando 2x+z=0, logo
z=-2x.
Com z=-2x e y=-2x-2z temos
y=-2x-2(-2x)= -2x+4x=2x.
Portanto um autovetor (direção do eixo) é proporcional a
v=(x,y,z)=(1,2,-2).
Esse vetor satisfaz R v = v, então ele indica o eixo de rotação.

Passo 6

Agora escolhemos um vetor w ortogonal a v. A condição v\cdot w=0 é
1\cdot a + 2\cdot b + (-2)\cdot c = a + 2b -2c = 0.
Escolhemos números simples para a,b,c. Tomando a=0 e b=1
0 + 2\cdot 1 -2c =0\quad\Rightarrow\quad c=1.
Portanto podemos usar
w=(0,1,1).

Passo 7

Calculemos agora u=R w. Usamos R=\dfrac{1}{45}A, logo
u=\frac{1}{45}A w.
Primeiro computamos A w. Como w=(0,1,1),
A w = \begin{pmatrix}29 & 28 & 20\\[4pt]-20 & 35 & -20\\[4pt]-28 & 4 & 35\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}28+20\\[4pt]35-20\\[4pt]4+35\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}48\\[4pt]15\\[4pt]39\end{pmatrix}.
Portanto
u=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}48\\[4pt]15\\[4pt]39\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}48/45\\[4pt]15/45\\[4pt]39/45\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora calculamos o cosseno do ângulo usando a fórmula simplificada
\cos\theta=\frac{w\cdot u}{\|w\|^{2}}.
Primeiro w\cdot u:
w\cdot u = 0\cdot\frac{48}{45} + 1\cdot\frac{15}{45} + 1\cdot\frac{39}{45} = \frac{15+39}{45}=\frac{54}{45}.
E \|w\|^{2}=0^{2}+1^{2}+1^{2}=2.

Passo 9

Portanto
\cos\theta=\frac{w\cdot u}{\|w\|^{2}}=\frac{54/45}{2}=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}.
Isso fecha o cálculo: o cosseno do ângulo de rotação é \dfrac{3}{5}.

Resposta

\dfrac{3}{5}

Exercícios relacionados