Q4) O movimento de um meio como a água influencia a velocidade da luz. Este efeito foi observado pela primeira vez por Fizeau em 1851. Considere um feixe de luz atravessando uma coluna horizontal de água movendo-se com velocidade v. (a) Determine a velocidade v da luz medida no referencial do laboratório quando o feixe se desloca na mesma direção do fluxo da água. (b) Determine uma aproximação para esta expressão válida quando v é pequeno.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre um feixe de luz que atravessa uma coluna horizontal de água que se move com velocidade v:
(a) Determinar a velocidade da luz medida no referencial do laboratório quando o feixe se desloca na mesma direção do fluxo da água.
(b) Determinar uma aproximação dessa expressão válida quando v é pequeno.
Informações relevantes dadas (e símbolos que usarei):
v = velocidade da água em relação ao laboratório (direção do fluxo igual à da luz).
c = velocidade da luz no vácuo.
n = índice de refração da água (número adimensional; para a água, tipicamente n\approx1{,}33, mas usaremos n simbólico).
Não foi fornecido valor numérico para v nem para n, então derivarei a expressão em termos de c, n e v.
Passo 2
Conceito necessário: como combinar velocidades medidas em referenciais diferentes.
Explicação didática e por que usar isto aqui:
A velocidade da luz medida no referencial em que a água está em repouso (referencial da água) é diferente da velocidade medida no laboratório, porque o laboratório vê a água se mover.
Em relatividade (que é o modo correto e moderno de tratar transformação de velocidades quando há luz envolvida), as velocidades se combinam pelo chamado “regra de adição relativística de velocidades”. Essa regra evita respostas físicas impossíveis (por exemplo somar velocidades de forma clássica poderia dar velocidades maiores que c em alguns casos).
A fórmula geral (velocidade de um objeto em S quando sabemos sua velocidade em S’ e a velocidade relativa entre S e S’) é:
u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u' v}{c^{2}}},
onde:
u' é a velocidade do objeto medida no referencial S’ (aqui: referencial da água),
v é a velocidade de S’ em relação a S (aqui: velocidade da água relativa ao laboratório),
u é a velocidade do objeto medida em S (aqui: velocidade da luz no laboratório).
Breve origem (intuição): essa fórmula vem das transformações de Lorentz. Se você escrever x'=\gamma(x-vt) e t'=\gamma(t-vx/c^2) e calcular u'=\dfrac{dx'}{dt'} em função de u=\dfrac{dx}{dt}, obtém a transformação e, invertendo, chega à fórmula acima. Não precisamos reproduzir toda a dedução aqui, só usar a fórmula com calma.
Passo 3
Valor da velocidade da luz no referencial da água (S’):
Em um meio material com índice de refração n, a velocidade da luz no referencial em que o meio está em repouso é
u' = \frac{c}{n}.
Explicação curta: o índice de refração n é definido pela razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz no meio: n = \dfrac{c}{u'}. Portanto u' = c/n. (Aqui estou usando o valor efetivo de velocidade de propagação relevante para o problema.)
Passo 4
Aplicando a fórmula de adição relativística com u'=\dfrac{c}{n} e com v na mesma direção que a luz:
Simplificando o denominador (\dfrac{1}{c^{2}}\cdot \dfrac{c}{n}\, v = \dfrac{v}{n c}), obtemos a expressão exata:
u = \frac{\dfrac{c}{n} + v}{1 + \dfrac{v}{n c}}.
Passo 5
Mostrar a mesma expressão de forma alternativa (apenas manipulação algébrica, para ver clareza): multiplico numerador e denominador por n c:
u = \frac{\left(\dfrac{c}{n} + v\right)\cdot n c}{\left(1 + \dfrac{v}{n c}\right)\cdot n c} = \frac{c^{2} + n c\, v}{n c + v}.
Ambas as formas são equivalentes; a forma mais simples para interpretar o arraste é a apresentada no Passo 4.
Passo 6
Queremos agora uma aproximação quando v é pequeno (isto é, v \ll c). Procedimento padrão: fazer expansão em série até termos lineares em v e desprezar termos de ordem v^{2} e superiores.
Partimos da expressão exata
u = \frac{\dfrac{c}{n} + v}{1 + \dfrac{v}{n c}}.
Escrevo 1/(1+\varepsilon)\approx 1-\varepsilon para \varepsilon pequeno (expansão de série de Taylor de ordem 1). Aqui \varepsilon = \dfrac{v}{n c}, que é pequeno quando v\ll c.
Então
u \approx \left(\dfrac{c}{n} + v\right)\left(1 - \dfrac{v}{n c}\right).
Passo 7
Faço a multiplicação e mantenho apenas termos até ordem v (desprezando \mathcal{O}(v^{2})):
u \approx \underbrace{\dfrac{c}{n}}_{\text{termo independente de }v} + \underbrace{v}_{\text{termo linear}} - \underbrace{\dfrac{c}{n}\cdot \dfrac{v}{n c}}_{=\dfrac{v}{n^{2}}} - \underbrace{v\cdot \dfrac{v}{n c}}_{\text{ordem }v^{2},\text{ desprezado}}.
Cancelando e desprezando termos de ordem v^{2}, obtemos
u \approx \frac{c}{n} + v\left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right).
Passo 8
Interpretação física rápida e exemplo numérico para te animar:
O coeficiente multiplicando v é 1 - \dfrac{1}{n^{2}}. Esse fator é conhecido como coeficiente de arraste de Fresnel. Mostra que a água “arrasta” a luz, mas não completamente: se usássemos adição clássica seria c/n + v, ou seja arraste total; a relatividade (e a física do meio) dá um arraste parcial.
Para água com n\approx1{,}33, 1 - 1/n^{2}\approx 1 - 1/1{,}7689\approx 0{,}435. Então, se a água se mover com velocidade v, a luz aumenta sua velocidade no laboratório em aproximadamente 0{,}435\,v.