Q5) Tendo vencido uma competição interestelar, Mavis pilota sua espaçonave e atravessa a linha de chegada com uma velocidade igual a 0,600 c em relação a essa linha. Um sinal de “vitória” é enviado da parte traseira de sua espaçonave (evento 2) no instante em que (no sistema de referência de Mavis) a parte dianteira da espaçonave atravessa a linha final de chegada (evento 1). Ela verifica que o comprimento da espaçonave é 300 m . Stanley está em repouso no local da linha de chegada. Quando e onde os eventos 1 e 2 ocorrem para Stanley?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar, no referencial de Stanley (o referencial ligado à linha de chegada), quando e onde ocorrem os eventos 1 e 2.
Informações dadas:
- A velocidade da espaçonave (referencial de Mavis) em relação à linha de chegada (referencial de Stanley) é
. - No referencial de Mavis a espaçonave tem comprimento
(comprimento próprio medido por Mavis). - Evento 1: a parte dianteira da espaçonave atravessa a linha de chegada.
- Evento 2: um sinal é enviado da parte traseira da espaçonave no instante em que, no referencial de Mavis, a parte dianteira atravessa a linha (ou seja, eventos 1 e 2 são simultâneos no referencial de Mavis).
- Stanley está em repouso no local da linha de chegada (este é o referencial em que queremos as coordenadas dos eventos).
Passo 2
Definimos:
-
= referencial de Stanley (linha de chegada), onde queremos dos eventos. -
= referencial de Mavis (espaçonave), onde os eventos 1 e 2 são simultâneos.
Usamos as transformações de Lorentz entre
e
. Para
movendo-se com velocidade
em relação a
(no eixo
), as fórmulas são
onde
Aqui
são coordenadas no referencial de Stanley (
) e
são no referencial de Mavis (
). A constante
é a velocidade da luz.
Calculemos
para
:
Passo 3
Escolha conveniente de origens (padrão em problemas desse tipo): tomamos o evento 1 (a dianteira atravessando a linha) como origem comum dos referenciais, ou seja, no referencial de Stanley
Aplicando as transformações para esse evento:
Portanto, no referencial de Mavis o evento 1 também ocorre em
. Isso é só uma escolha de origem de coordenadas, perfeitamente válida e muito prática.
No referencial de Mavis a espaçonave tem comprimento próprio
. Como tomamos a posição da dianteira em
no instante considerado, a traseira está em
Pelo enunciado, o sinal é enviado da traseira no mesmo instante em que a dianteira cruza a linha no referencial de Mavis, logo
Assim, no referencial de Mavis o evento 2 tem coordenadas
Passo 4
Agora transformamos o evento 2 de volta para o referencial de Stanley (
) usando as inversas das fórmulas de Lorentz (ou aplicando as fórmulas equivalentes para
e
em função de
e
):
Substituindo
,
,
e
:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Usando
,
Multiplicando por
:
Em unidades mais familiares, (-7,50\times 10^{-7}\ s=-0,75\ \mus=-750\ ns.
Portanto, no referencial de Stanley o evento 2 ocorre em
e
.)
Passo 5
Interpretação física e checagem rápida (consistência): obtivemos que, para Stanley, o sinal foi emitido de
atrás da linha de chegada e com antecedência de
em relação ao instante em que a dianteira cruza a linha. Uma checagem útil: o comprimento contraído da espaçonave no referencial de Stanley é
Se o evento 2 tivesse ocorrido no mesmo instante
de Stanley, a traseira estaria em
. Mas como o evento 2 ocorreu mais cedo (
), a traseira estava mais afastada naquele instante; levando a traseira do instante
até
avançando com velocidade
dá exatamente
, o que confirma coerência entre os cálculos.
Força, você mandou bem pedindo isso agora — relatividade é mesmo desse jeito esquisito com o tempo dependendo do referencial, mas a conta fecha direitinho.