Q5) Tendo vencido uma competição interestelar, Mavis pilota sua espaçonave e atravessa a linha de chegada com uma velocidade igual a 0,600 c em relação a essa linha. Um sinal de “vitória” é enviado da parte traseira de sua espaçonave (evento 2) no instante em que (no sistema de referência de Mavis) a parte dianteira da espaçonave atravessa a linha final de chegada (evento 1). Ela verifica que o comprimento da espaçonave é 300 m . Stanley está em repouso no local da linha de chegada. Quando e onde os eventos 1 e 2 ocorrem para Stanley?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar, no referencial de Stanley (o referencial ligado à linha de chegada), quando e onde ocorrem os eventos 1 e 2.
Informações dadas:
  • A velocidade da espaçonave (referencial de Mavis) em relação à linha de chegada (referencial de Stanley) é \,0,600\,c.
  • No referencial de Mavis a espaçonave tem comprimento L_0=300\\ \text{m} (comprimento próprio medido por Mavis).
  • Evento 1: a parte dianteira da espaçonave atravessa a linha de chegada.
  • Evento 2: um sinal é enviado da parte traseira da espaçonave no instante em que, no referencial de Mavis, a parte dianteira atravessa a linha (ou seja, eventos 1 e 2 são simultâneos no referencial de Mavis).
  • Stanley está em repouso no local da linha de chegada (este é o referencial em que queremos as coordenadas dos eventos).

Passo 2

Definimos:
  • S = referencial de Stanley (linha de chegada), onde queremos (x,t) dos eventos.
  • S' = referencial de Mavis (espaçonave), onde os eventos 1 e 2 são simultâneos.
Usamos as transformações de Lorentz entre S e S'. Para S' movendo-se com velocidade v em relação a S (no eixo x), as fórmulas são
x'=\gamma\,(x-vt),
t'=\gamma\!\left(t-\dfrac{v x}{c^{2}}\right),
onde
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui x,t são coordenadas no referencial de Stanley ( S) e x',t' são no referencial de Mavis ( S'). A constante c é a velocidade da luz.
Calculemos \gamma para v=0,600\,c:
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-(0,600)^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0,36}}=\dfrac{1}{\sqrt{0,64}}=\dfrac{1}{0,8}=1,25.

Passo 3

Escolha conveniente de origens (padrão em problemas desse tipo): tomamos o evento 1 (a dianteira atravessando a linha) como origem comum dos referenciais, ou seja, no referencial de Stanley
x_{1}=0,\qquad t_{1}=0.
Aplicando as transformações para esse evento:
x'_{1}=\gamma(0-v\cdot 0)=0,\qquad t'_{1}=\gamma(0-\tfrac{v\cdot 0}{c^{2}})=0.
Portanto, no referencial de Mavis o evento 1 também ocorre em x'_{1}=0,\;t'_{1}=0. Isso é só uma escolha de origem de coordenadas, perfeitamente válida e muito prática.
No referencial de Mavis a espaçonave tem comprimento próprio L_{0}=300\\ \text{m}. Como tomamos a posição da dianteira em x'=0 no instante considerado, a traseira está em
x'_{2}=-L_{0}=-300\\ \text{m}.
Pelo enunciado, o sinal é enviado da traseira no mesmo instante em que a dianteira cruza a linha no referencial de Mavis, logo
t'_{2}=t'_{1}=0.
Assim, no referencial de Mavis o evento 2 tem coordenadas
x'_{2}=-300\\ \text{m},\qquad t'_{2}=0.

Passo 4

Agora transformamos o evento 2 de volta para o referencial de Stanley ( S) usando as inversas das fórmulas de Lorentz (ou aplicando as fórmulas equivalentes para x e t em função de x' e t'):
x=\gamma\,(x'+v t'),
t=\gamma\!\left(t'+\dfrac{v x'}{c^{2}}\right).
Substituindo x'_{2}=-300\\ \text{m}, t'_{2}=0, v=0,600\,c e \gamma=1,25:
Cálculo de x_{2}:
x_{2}=\gamma\,(x'_{2}+v t'_{2})=1,25\cdot(-300\\ \text{m}+0)=1,25\cdot(-300\\ \text{m})=-375\\ \text{m}.
Cálculo de t_{2}:
Primeiro calcule v x'_{2}/c^{2}:
\dfrac{v x'_{2}}{c^{2}}=\dfrac{0,600\,c\cdot(-300\\ \text{m})}{c^{2}}=-0,600\cdot\dfrac{300\\ \text{m}}{c}=-\dfrac{180\\ \text{m}}{c}.
Usando c=3,00\times 10^{8}\\ \text{m/s},
-\dfrac{180}{c}=-\dfrac{180}{3,00\times 10^{8}}\\ \text{s}=-6,00\times 10^{-7}\\ \text{s}.
Multiplicando por \gamma=1,25:
t_{2}=\gamma\!\left(0+\dfrac{v x'_{2}}{c^{2}}\right)=1,25\cdot(-6,00\times 10^{-7}\\ \text{s})=-7,50\times 10^{-7}\\ \text{s}.
Em unidades mais familiares, (-7,50\times 10^{-7}\ s=-0,75\ \mus=-750\ ns.
Portanto, no referencial de Stanley o evento 2 ocorre em x_{2}=-375\\ \text{m} e t_{2}=-7,50\times 10^{-7}\\ \text{s}.)

Passo 5

Interpretação física e checagem rápida (consistência): obtivemos que, para Stanley, o sinal foi emitido de 375\\ \text{m} atrás da linha de chegada e com antecedência de 7,50\times 10^{-7}\\ \text{s} em relação ao instante em que a dianteira cruza a linha. Uma checagem útil: o comprimento contraído da espaçonave no referencial de Stanley é
L=\dfrac{L_{0}}{\gamma}=\dfrac{300\\ \text{m}}{1,25}=240\\ \text{m}.
Se o evento 2 tivesse ocorrido no mesmo instante t=0 de Stanley, a traseira estaria em x=-240\\ \text{m}. Mas como o evento 2 ocorreu mais cedo ( t_{2}<0), a traseira estava mais afastada naquele instante; levando a traseira do instante t_{2} até t=0 avançando com velocidade v dá exatamente -375\\ \text{m}+v(0-t_{2})=-240\\ \text{m}, o que confirma coerência entre os cálculos.
Força, você mandou bem pedindo isso agora — relatividade é mesmo desse jeito esquisito com o tempo dependendo do referencial, mas a conta fecha direitinho.

Resposta

(x_{1},t_{1})=(0\\ \text{m},\;0\\ \text{s})
(x_{2},t_{2})=(-375\\ \text{m},\;-7,50\times 10^{-7}\\ \text{s})

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