Q10:
e
, são tais que
e
são soluções do sistema
. Qual dos seguintes vetores é uma solução do sistema homogêneo assocíado,
?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma matriz
e um vetor , com . - Os vetores
e são soluções do sistema . Ou seja,
A pergunta do enunciado é: qual dos vetores listados nas alternativas é solução do sistema homogêneo associado
? As alternativas são:
Passo 2
A ideia-chave que vamos usar (mostrada agora com prova curta) é: se
e
são soluções de
com a mesma matriz
e o mesmo termo
, então a diferença
é solução do sistema homogêneo
.
Prova direta:
Isso mostra que qualquer diferença entre duas soluções é um vetor do núcleo (nullspace) de
.
Passo 3
Aplicando isso ao problema: tomemos
e
. Calculamos a diferença:
Pelo passo anterior,
satisfaz
.]
Passo 4
Observação importante sobre espaços vetoriais: se
pertence ao núcleo de
(ou seja
), então qualquer múltiplo escalar
também pertence ao núcleo, porque
Logo todos os vetores da forma
, com
, são soluções do sistema homogêneo.]
Passo 5
Vamos ver quais alternativas, se houver, são múltiplos escalares de
. Para um vetor
ser múltiplo de
é necessário que exista
tal que
Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira, para um candidato ser múltiplo deve valer
.
Agora avalio cada alternativa comparando a primeira componente com
:
- (A)
: primeira componente — isto é . Então este vetor é . - (B)
: primeira componente — não é igual a , portanto não é múltiplo de . - (C)
: primeira componente — não é . - (D)
: primeira componente — não é . - (E)
: primeira componente — não é . - (F)
: primeira componente — não é .]
Passo 6
Resumo dos cálculos: a diferença entre as duas soluções dadas é
, e todos os múltiplos escalares desse vetor resolvem o homogêneo. Entre as alternativas, apenas a alternativa (A) é um múltiplo escalar correto (com
).]