Q10: A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} e \vec{b} \in \mathbb{R}^{2}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, são tais que (1,1) e (5,8) são soluções do sistema A \vec{x}=\vec{b}. Qual dos seguintes vetores é uma solução do sistema homogêneo assocíado, A \vec{x}=\overrightarrow{0} ?
(A) (8,14)
(B) (9,14)
(C) (10,14)
(D) (11,14)
(E) (12,14)
(F) (13,14)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2} e um vetor \vec{b}\in\mathbb{R}^2, com \vec{b}\neq\overrightarrow{0}.
  • Os vetores (1,1) e (5,8) são soluções do sistema A\vec{x}=\vec{b}. Ou seja,
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\vec{b} \qquad\text{e}\qquad A\begin{pmatrix}5\\[4pt]8\end{pmatrix}=\vec{b}.
A pergunta do enunciado é: qual dos vetores listados nas alternativas é solução do sistema homogêneo associado A\vec{x}=\overrightarrow{0}? As alternativas são:
\begin{aligned} \text{(A)}\\ &(8,14)\\\ \text{(B)}\\ &(9,14)\\\ \text{\text{(C)}}\\ &(10,14)\\\ \text{(D)}\\ &(11,14)\\\ \text{(E)}\\ &(12,14)\\\ \text{(F)}\\ &(13,14) \end{aligned}]

Passo 2

A ideia-chave que vamos usar (mostrada agora com prova curta) é: se \vec{x}_1 e \vec{x}_2 são soluções de A\vec{x}=\vec{b} com a mesma matriz A e o mesmo termo \vec{b}, então a diferença \vec{x}_2-\vec{x}_1 é solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}.
Prova direta:
A(\vec{x}_2-\vec{x}_1)=A\vec{x}_2-A\vec{x}_1=\vec{b}-\vec{b}=\overrightarrow{0}.
Isso mostra que qualquer diferença entre duas soluções é um vetor do núcleo (nullspace) de A.

Passo 3

Aplicando isso ao problema: tomemos \vec{x}_1=(1,1) e \vec{x}_2=(5,8). Calculamos a diferença:
\vec{x}_2-\vec{x}_1= \begin{pmatrix}5\\[4pt]8\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix}.
Pelo passo anterior, \begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix} satisfaz A\vec{x}=\overrightarrow{0}.]

Passo 4

Observação importante sobre espaços vetoriais: se \vec{v} pertence ao núcleo de A (ou seja A\vec{v}=\overrightarrow{0}), então qualquer múltiplo escalar \lambda\vec{v} também pertence ao núcleo, porque
A(\lambda\vec{v})=\lambda A\vec{v}=\lambda\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Logo todos os vetores da forma \lambda\begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix}, com \lambda\in\mathbb{R}, são soluções do sistema homogêneo.]

Passo 5

Vamos ver quais alternativas, se houver, são múltiplos escalares de \begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix}. Para um vetor \begin{pmatrix}a\\[4pt]14\end{pmatrix} ser múltiplo de \begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix} é necessário que exista \lambda tal que
a=\lambda\cdot 4 \qquad\text{e}\qquad 14=\lambda\cdot 7.
Da segunda equação temos \lambda=\dfrac{14}{7}=2. Substituindo na primeira, para um candidato ser múltiplo deve valer a=2\cdot 4=8.
Agora avalio cada alternativa comparando a primeira componente com 8:
  • (A) (8,14): primeira componente 8 — isto é 2\cdot 4. Então este vetor é 2\begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix}.
  • (B) (9,14): primeira componente 9 — não é igual a 8, portanto não é múltiplo de \begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix}.
  • (C) (10,14): primeira componente 10 — não é 8.
  • (D) (11,14): primeira componente 11 — não é 8.
  • (E) (12,14): primeira componente 12 — não é 8.
  • (F) (13,14): primeira componente 13 — não é 8.]

Passo 6

Resumo dos cálculos: a diferença entre as duas soluções dadas é \begin{pmatrix}4\\[4pt]7\end{pmatrix}, e todos os múltiplos escalares desse vetor resolvem o homogêneo. Entre as alternativas, apenas a alternativa (A) é um múltiplo escalar correto (com \lambda=2).]

Resposta

(8,14)

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