Q10) Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa ( \mathrm{m}=6,64 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} ) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a 30,0 \mathrm{MeV} e largura de 2,0 \mathrm{fm}.
Qual é a probabilidade de tunelamento se a partícula alfa colide com a barreira com uma energia cinética 1,0 \mathrm{MeV} abaixo do topo da barreira?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de tunelamento (transmissão quântica) de uma partícula alfa que encontra uma barreira retangular. Dados fornecidos:
m = 6{,}64\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg},
V_0 = 30{,}0\\ \mathrm{MeV},
a = 2{,}0\\ \mathrm{fm} = 2{,}0\times 10^{-15}\\ \mathrm{m},
a energia cinética da partícula é 1{,}0\\ \mathrm{MeV} abaixo do topo da barreira, ou seja
E = V_0 - 1{,}0\\ \mathrm{MeV} = 29{,}0\\ \mathrm{MeV}.
A pergunta é: qual é a probabilidade de tunelamento T quando E<V_0?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Tunelamento através de uma barreira retangular é um efeito quântico: mesmo com E<V_0 existe uma probabilidade não nula de a partícula atravessar a barreira. Para uma barreira plana de altura V_0 e largura a, com energia da partícula E<V_0, a fórmula exata (obtida resolvendo a equação de Schrödinger e aplicando condições de contorno) para a probabilidade de transmissão é
T = \left[1 + \frac{V_0^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1},
onde \kappa é o fator de decaimento no interior da barreira dado por
\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.
Aqui:
  • m é a massa da partícula ( \mathrm{kg}),
  • V_0 e E são energias (use as mesmas unidades para V_0,E na razão do prefator; para \kappa precisamos de joules),
  • \hbar é a constante reduzida de Planck, \hbar \approx 1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    Explicação simples: \kappa mede o quão rápido a função de onda decai dentro da barreira; \operatorname{sinh}(\kappa a) aparece porque a solução da equação de Schrödinger na região da barreira combina exponenciais; o termo do prefator envolve razões de energias que vêm das condições de continuidade.

Passo 3

Conversões necessárias e constantes:
  • 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • 1\\ \mathrm{MeV} = 10^{6}\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-13}\\ \mathrm{J}.
    Vamos usar essas conversões para calcular \kappa. Para calcular o fator adimensional V_0^{2}/[4E(V_0-E)] podemos usar as energias em \mathrm{MeV} (porque a unidade cancela na razão), o que simplifica contas sem erro.

Passo 4

Calcular a diferença de energia \Delta E = V_0 - E em joules:
\Delta E = 1{,}0\\ \mathrm{MeV} = 1{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{eV} = 1{,}0\times 1{,}602176634\times 10^{-13}\\ \mathrm{J} = 1{,}602176634\times 10^{-13}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular \kappa passo a passo. Usamos
\kappa = \frac{\sqrt{2m\Delta E}}{\hbar}.
Substituindo números:
2m\Delta E = 2\times (6{,}64\times 10^{-27})\times (1{,}602176634\times 10^{-13}) = 2{,}128656\times 10^{-39}\\ \mathrm{J^{2}\,kg}.
Agora a raiz:
\sqrt{2m\Delta E} = \sqrt{2{,}128656\times 10^{-39}} \approx 1{,}45937\times 10^{-19}\\ \mathrm{kg^{1/2} m^{1/2} s^{-1}}.
Dividindo por \hbar:
\kappa = \frac{1{,}45937\times 10^{-19}}{1{,}054571817\times 10^{-34}} \approx 4{,}377\times 10^{14}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

Calcular \kappa a (produto adimensional) e \operatorname{sinh}(\kappa a):
\kappa a = (4{,}377\times 10^{14})\times (2{,}0\times 10^{-15}) \approx 0{,}8754.
Calcule \operatorname{sinh}(\kappa a). Para \kappa a=0{,}8754,
\operatorname{sinh}(0{,}8754)\approx 0{,}9910,
portanto
\operatorname{sinh}^{2}(0{,}8754)\approx 0{,}9821.

Passo 7

Calcular o prefator adimensional usando as energias em \mathrm{MeV}:
\frac{V_0^{2}}{4E(V_0-E)} = \frac{(30{,}0)^{2}}{4\times 29{,}0\times 1{,}0} = \frac{900}{116} \approx 7{,}7586.
Multiplicando por \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a):
\frac{V_0^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_0-E)} \approx 7{,}7586\times 0{,}9821 \approx 7{,}6197.

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula da transmissão:
T = \left[1 + 7{,}6197\right]^{-1} = \frac{1}{8{,}6197} \approx 0{,}1160.
Isto significa que a probabilidade de tunelamento é cerca de 11{,}60\%.

Passo 9

Comentário didático rápido (comparação com aproximação WKB): uma aproximação simples para barreiras relativamente altas/largas é
T_{\text{WKB}} \approx e^{-2\kappa a}.
Com nossos valores
e^{-2\kappa a} = e^{-1{,}7508} \approx 0{,}1736,
que superestima a transmissão em relação à fórmula exata. Isso ocorre porque a fórmula exata inclui fatores de reflexão e acoplamento nas fronteiras; a aproximação WKB é mais grosseira aqui (porque \kappa a não é muito grande).

Resposta

\displaystyle T \approx 0{,}116\\ (\text{ou }11{,}6\%)

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