Q10) Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa (
) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a
e largura de
.
Qual é a probabilidade de tunelamento se a partícula alfa colide com a barreira com uma energia cinética
abaixo do topo da barreira?
Qual é a probabilidade de tunelamento se a partícula alfa colide com a barreira com uma energia cinética
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de tunelamento (transmissão quântica) de uma partícula alfa que encontra uma barreira retangular. Dados fornecidos:
a energia cinética da partícula é
abaixo do topo da barreira, ou seja
A pergunta é: qual é a probabilidade de tunelamento
quando
?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Tunelamento através de uma barreira retangular é um efeito quântico: mesmo com existe uma probabilidade não nula de a partícula atravessar a barreira. Para uma barreira plana de altura
e largura
, com energia da partícula
, a fórmula exata (obtida resolvendo a equação de Schrödinger e aplicando condições de contorno) para a probabilidade de transmissão é
Tunelamento através de uma barreira retangular é um efeito quântico: mesmo com
onde
é o fator de decaimento no interior da barreira dado por
Aqui:
-
é a massa da partícula ( ), -
e são energias (use as mesmas unidades para na razão do prefator; para precisamos de joules), -
é a constante reduzida de Planck, .
Explicação simples:mede o quão rápido a função de onda decai dentro da barreira; aparece porque a solução da equação de Schrödinger na região da barreira combina exponenciais; o termo do prefator envolve razões de energias que vêm das condições de continuidade.
Passo 3
Conversões necessárias e constantes:
-
. -
.
Vamos usar essas conversões para calcular. Para calcular o fator adimensional podemos usar as energias em (porque a unidade cancela na razão), o que simplifica contas sem erro.
Passo 4
Calcular a diferença de energia
em joules:
Passo 5
Calcular
passo a passo. Usamos
Substituindo números:
Agora a raiz:
Dividindo por
:
Passo 6
Calcular
(produto adimensional) e
:
Calcule
. Para
,
portanto
Passo 7
Calcular o prefator adimensional usando as energias em
:
Multiplicando por
:
Passo 8
Agora aplicamos a fórmula da transmissão:
Isto significa que a probabilidade de tunelamento é cerca de
.
Passo 9
Comentário didático rápido (comparação com aproximação WKB): uma aproximação simples para barreiras relativamente altas/largas é
Com nossos valores
que superestima a transmissão em relação à fórmula exata. Isso ocorre porque a fórmula exata inclui fatores de reflexão e acoplamento nas fronteiras; a aproximação WKB é mais grosseira aqui (porque
não é muito grande).