Sejam T(x, y, z)=\left[\begin{array}{rrr}-2 & -2 & -1 \\\\ 2 & -2 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] e
S(x, y)=(2 x+2 y, 2 x-2 y,-x+2 y).
Se C é a matriz que representa a composição T \circ S, então sua entrada c_{22} é:
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado fornece duas transformações lineares em bases canônicas:
S\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 dada por
S(x,y) = (2x+2y,\;2x-2y,\;-x+2y)
e
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 representada pela matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -1\\\\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Queremos a matriz C de T\circ S e, em especial, sua entrada c_{22}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz B de S cujas colunas são S(e_1) e S(e_2):
B = \begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ 2 & -2\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

A composição tem matriz
C = A\,B.
Para obter c_{22}, fazemos o produto escalar da segunda linha de A pela segunda coluna de B:
\text{segunda linha de }A = (2,\,-2,\,-2),\quad \text{segunda coluna de }B = (2,\,-2,\,2).
Logo,
c_{22} = (2)\cdot(2) + (-2)\cdot(-2) + (-2)\cdot(2) = 4 + 4 - 4 = 4.

Resposta

(D)

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