Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(E) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois conjuntos de três vetores em \mathbb{R}^3,
\{\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3\} e \{\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3\}, cada um deles linearmente dependente, e pergunta sobre a existência de uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} tal que
A\vec x_1=\vec b_1,\quad A\vec x_2=\vec b_2,\quad A\vec x_3=\vec b_3.
Vamos ver qual condição é necessária para que exista tal A.

Passo 2

Um mapa linear A satisfaz estas três igualdades se, e somente se, qualquer relação de dependência linear entre os \vec x_i seja também válida entre os \vec b_i. Em outras palavras, se
\alpha_1\vec x_1+\alpha_2\vec x_2+\alpha_3\vec x_3=\vec 0
para certos escalares \alpha_i, então devemos ter
\alpha_1\vec b_1+\alpha_2\vec b_2+\alpha_3\vec b_3=\vec 0
para que A seja bem definido e linear.

Passo 3

Sabemos apenas que cada conjunto é LD, ou seja, cada um possui alguma combinação não trivial que anula. Mas não sabemos se a combinação que anula os \vec x_i é exatamente a mesma que anula os \vec b_i. Se as dependências forem diferentes, não haverá como definir A sem violar a linearidade.

Passo 4

Logo, com os dados fornecidos (apenas que ambos os conjuntos são LD), não podemos garantir que exista uma matriz A satisfazendo as três igualdades. Em alguns casos compatíveis haverá A; em outros, não.

Resposta

(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.

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