Q8: Sejam
um conjunto LD e
um conjunto LD. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(B) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(C) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(E) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que
(D) Pode-se afirmar que
(E) Pode-se afirmar que não existe tal
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal
Passo 1
O enunciado diz que temos dois conjuntos de três vetores em
,
e
, cada um deles linearmente dependente, e pergunta sobre a existência de uma matriz
tal que
Vamos ver qual condição é necessária para que exista tal
.
Passo 2
Um mapa linear
satisfaz estas três igualdades se, e somente se, qualquer relação de dependência linear entre os
seja também válida entre os
. Em outras palavras, se
para certos escalares
, então devemos ter
para que
seja bem definido e linear.
Passo 3
Sabemos apenas que cada conjunto é LD, ou seja, cada um possui alguma combinação não trivial que anula. Mas não sabemos se a combinação que anula os
é exatamente a mesma que anula os
. Se as dependências forem diferentes, não haverá como definir
sem violar a linearidade.
Passo 4
Logo, com os dados fornecidos (apenas que ambos os conjuntos são LD), não podemos garantir que exista uma matriz
satisfazendo as três igualdades. Em alguns casos compatíveis haverá
; em outros, não.
Resposta
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.