Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que A \vec{v}_{1}=2 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-2 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} . Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então: (A) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right] M (B) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M (C) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & -3\end{array}\right] M (D) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right] (E) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M (F) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] (G) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] (H) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & -3\end{array}\right] Passo 1O enunciado fornece a base \beta=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}, a matriz M = [\,\vec{v}_1\;\vec{v}_2\;\vec{v}_3\,] e as imagens \displaystyle A\vec{v}_1, A\vec{v}_2 e A\vec{v}_3. Queremos achar a matriz P tal que A\,M \;=\; M\,P. Passo 2Note que A\,M \;=\;\bigl[\,A\vec{v}_1,\;A\vec{v}_2,\;A\vec{v}_3\bigr]. Passo 3Pelas hipóteses: A\vec{v}_1 = 2\vec{v}_1,\quad A\vec{v}_2 = \vec{v}_1 - 2\vec{v}_3,\quad A\vec{v}_3 = \vec{v}_1 - 3\vec{v}_3. Em coordenadas na base \beta, essas imagens correspondem às colunas \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}, respectivamente. Passo 4Portanto, a matriz P que satisfaz A M = M P é P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & -3 \end{pmatrix}. Passo 5Comparando com as alternativas, vemos que a forma A\,M \;=\; M \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & -3 \end{pmatrix} corresponde à opção (H). Resposta(H) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQ8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que: A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}: (A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}. (B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}. (C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade. (D) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única. (E) Pode-se afirmar que não existe tal A. (F) Não se pode afirmar se existe ou não tal A. Q7: Seja A uma matrix m \times n. Considere as afirmativas abaixo: I - Se para algum \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} o sistema A \vec{x}=\vec{b} tem solução única, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}. II - Se A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}, então m=n. (A) Todas são falsas. (B) Só I é verdadeira. (C) Só II é verdadeira. (D) Todas são verdadeiras. Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores ( 5,3,1,-2 ) e (-4,-1,2,0) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta: (A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6 (B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4 (C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3 (D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2 (E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3 (F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4 (G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6 (H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,0,-1,2),(-2,0,1,0),(8,0,-1,-6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )? (A) \{(3,2,3,2)\} (B) \{(3,4,6,3)\} (C) \{(2,1,4,2),(3,2,3,2)\} (D) \{(2,2,2,-4),(3,4,6,3)\} (E) \{(2,1,4,2)\} (F) \{(2,2,2,-4),(3,2,3,2)\} (G) \{(2,1,4,2),(3,4,6,3)\} (H) \{(2,2,2,-4)\}