Q10: Seja
o angulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre os vetores
e
em
e nos dá explicitamente os componentes de cada vetor. A pergunta final é identificar em qual dos intervalos listados para
(ângulo entre os vetores) o valor se encaixa.
Dados relevantes:
Passo 2
Para achar o ângulo entre dois vetores usamos a relação que liga produto escalar e norma dos vetores. Vou escrever a fórmula e explicar cada termo. A fórmula é:
Aqui:
-
é o produto escalar; para vetores em coordenadas é a soma dos produtos das componentes correspondentes. -
é a norma (comprimento) do vetor , dada por . -
é o ângulo entre os vetores, com .
Essa fórmula definecomo
Observação importante (útil na prova): a função
é estritamente decrescente em
. Então comparar valores de cosseno nos permite comparar os ângulos.
Passo 3
Calculo do produto escalar
. Multiplica-se componente a componente e soma:
Agora computando cada termo:
Somando:
Passo 4
Calculo das normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora usamos a fórmula do cosseno:
Multiplicando porbaixo:
Então
Para comparar com valores de referência, faço uma aproximação numérica rápida (suficiente para classificar em qual intervalo o ângulo está). Note que
e
, então
está entre
e
; calculando com mais precisão obtém-se aproximadamente
. Assim
Passo 6
Agora comparo
com os cossenos dos ângulos limites das alternativas que interessam. Valores conhecidos:
Temos a aproximação
. Observando os números:
Ou seja,
Como
é estritamente decrescente em
, essa desigualdade em cossenos implica:
Portanto
pertence ao intervalo aberto
. Entre as alternativas dadas, a que cobre esse intervalo é a (F), que afirma
Nosso
é estritamente menor que
mas a alternativa permite
, então a alternativa (F) é a correta.
Resposta
(F)