Q10: Seja \theta o angulo entre os vetores (5,1,-2,2) e (-4,-5,-1,-3) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leq 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores (5,1,-2,2) e (-4,-5,-1,-3) em \mathbb{R}^4 e nos dá explicitamente os componentes de cada vetor. A pergunta final é identificar em qual dos intervalos listados para \theta (ângulo entre os vetores) o valor se encaixa.
Dados relevantes:
\mathbf{u} = (5,1,-2,2),\qquad \mathbf{v}=(-4,-5,-1,-3).

Passo 2

Para achar o ângulo entre dois vetores usamos a relação que liga produto escalar e norma dos vetores. Vou escrever a fórmula e explicar cada termo. A fórmula é:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Aqui:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar; para vetores em coordenadas é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{u}, dada por \|\mathbf{u}\|=\sqrt{\text{soma dos quadrados das componentes}}.
  • \theta é o ângulo entre os vetores, com 0\le \theta\le \pi.
    Essa fórmula define \cos\theta como
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Observação importante (útil na prova): a função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi]. Então comparar valores de cosseno nos permite comparar os ângulos.

Passo 3

Calculo do produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Multiplica-se componente a componente e soma:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 5\cdot(-4) + 1\cdot(-5) + (-2)\cdot(-1) + 2\cdot(-3).
Agora computando cada termo:
5\cdot(-4) = -20,\quad 1\cdot(-5) = -5,\quad (-2)\cdot(-1) = 2,\quad 2\cdot(-3) = -6.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = -20 -5 +2 -6 = -29.

Passo 4

Calculo das normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.
Para \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4 + 4} = \sqrt{34}.
Para \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 1 + 9} = \sqrt{51}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} = \frac{-29}{\sqrt{34}\sqrt{51}}.
Multiplicando porbaixo:
\sqrt{34}\sqrt{51} = \sqrt{34\cdot 51} = \sqrt{1734}.
Então
\cos\theta = \frac{-29}{\sqrt{1734}}.
Para comparar com valores de referência, faço uma aproximação numérica rápida (suficiente para classificar em qual intervalo o ângulo está). Note que 41^2=1681 e 42^2=1764, então \sqrt{1734} está entre 41 e 42; calculando com mais precisão obtém-se aproximadamente \sqrt{1734}\approx 41{,}62. Assim
\cos\theta \approx \frac{-29}{41{,}62}\approx -0{,}6966.

Passo 6

Agora comparo \cos\theta com os cossenos dos ângulos limites das alternativas que interessam. Valores conhecidos:
\cos\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) = -\tfrac{1}{2} = -0{,}5, \qquad \cos\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071.
Temos a aproximação \cos\theta\approx -0{,}6966. Observando os números:
-0{,}7071 \;<\; -0{,}6966 \;<\; -0{,}5.
Ou seja,
\cos\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) \;<\; \cos\theta \;<\; \cos\left(\tfrac{2\pi}{3}\right).
Como \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], essa desigualdade em cossenos implica:
\tfrac{2\pi}{3} \;<\; \theta \;<\; \tfrac{3\pi}{4}.
Portanto \theta pertence ao intervalo aberto \left(\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{3\pi}{4}\right). Entre as alternativas dadas, a que cobre esse intervalo é a (F), que afirma
\tfrac{2\pi}{3} < \theta \le \tfrac{3\pi}{4}.
Nosso \theta é estritamente menor que \tfrac{3\pi}{4} mas a alternativa permite \le \tfrac{3\pi}{4}, então a alternativa (F) é a correta.

Resposta

(F)

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