Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(-1,2,0,0),(1,0,0,-2),(-2,-4,0,8)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(2,1,3,1)\}
(B) \{(-2,3,3,-2),(6,3,2,3)\}
(C) \{(2,1,3,1),(6,3,2,3)\}
(D) \{(6,3,2,3)\}
(E) \{(2,1,3,1),(3,-2,-2,3)\}
(F) \{(-2,3,3,-2)\}
(G) \{(3,-2,-2,3)\}
(H) \{(-2,3,3,-2),(3,-2,-2,3)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_1 = (-1,2,0,0),\quad v_2 = (1,0,0,-2),\quad v_3 = (-2,-4,0,8).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações relevantes dadas: os três geradores de H indicados acima. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro preciso saber a dimensão de H para saber a dimensão de H^{\perp}. Vou checar se os vetores geradores são linearmente independentes. Procuro constantes a,b tais que
a v_1 + b v_2 = v_3.
Escrevendo coordenada a coordenada:
-a + b = -2,\quad 2a = -4,\quad 0=0,\quad -2b = 8.
Da segunda equação vem a=-2. Então da primeira -(-2) + b = -2 \Rightarrow 2 + b = -2 \Rightarrow b=-4. A quarta equação -2b = 8 também é satisfeita por b=-4. Logo existe combinação linear: v_3 = -2v_1 -4v_2. Portanto v_3 é dependente dos dois primeiros.

Passo 3

Como v_1 e v_2 são linearmente independentes (verificável rapidamente: não há escalar k tal que v_1 = k v_2), a dimensão de H é \dim H = 2. Em \mathbb{R}^4 vale a relação
\dim H + \dim H^{\perp} = 4,
logo \dim H^{\perp} = 4-2 = 2. Assim qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes e ambos devem ser ortogonais a todos os vetores de H.

Passo 4

Vou escrever a condição geral de ortogonalidade. Um vetor genérico x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 pertence a H^{\perp} se e somente se
x\cdot v_1 = 0\quad\text{e}\quad x\cdot v_2 = 0.
Calculo essas produto internos:
x\cdot v_1 = -x_1 + 2x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = -x_1 + 2x_2,
x\cdot v_2 = x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 -2x_4 = x_1 - 2x_4.
As condições são o sistema linear
-x_1 + 2x_2 = 0,\qquad x_1 - 2x_4 = 0.

Passo 5

Resolvendo o sistema: da primeira equação vem x_1 = 2x_2. Da segunda vem x_1 = 2x_4. Igualando, 2x_2 = 2x_4\Rightarrow x_2 = x_4. A coordenada x_3 não aparece em nenhuma equação, portanto é livre. Tomando parâmetros t e s com x_2=x_4=t e x_3=s, temos
x = (x_1,x_2,x_3,x_4) = (2t,t,s,t) = t(2,1,0,1) + s(0,0,1,0).
Logo uma base conveniente de H^{\perp} é, por exemplo, os vetores
u_1 = (2,1,0,1),\qquad u_2 = (0,0,1,0).
Qualquer base de H^{\perp} deve consistir de dois vetores que sejam combinação linear destes (i.e., vetores do tipo (2t,t,s,t)) e que sejam linearmente independentes entre si.

Passo 6

Agora verifico as opções dadas. Pela dimensão, elimino imediatamente todas as opções que têm apenas um vetor: (A),(D),(F),(G) estão descartadas. Resta checar as opções com dois vetores. Para um vetor candidato w=(w_1,w_2,w_3,w_4) ser membro de H^{\perp} basta checar w\cdot v_1=0 e w\cdot v_2=0.

Passo 7

Testo a opção (C): os vetores são w^{(1)}=(2,1,3,1) e w^{(2)}=(6,3,2,3).
Calculo produtos com v_1 e v_2:
Para w^{(1)}:
v_1\cdot w^{(1)} = -1\cdot 2 + 2\cdot 1 = -2+2 = 0,
v_2\cdot w^{(1)} = 1\cdot 2 -2\cdot 1 = 2-2 = 0.
Para w^{(2)}:
v_1\cdot w^{(2)} = -1\cdot 6 + 2\cdot 3 = -6+6 = 0,
v_2\cdot w^{(2)} = 1\cdot 6 -2\cdot 3 = 6-6 = 0.
Portanto ambos pertencem a H^{\perp}. Falta verificar que são linearmente independentes. Se existisse \lambda tal que w^{(2)}=\lambda w^{(1)}, então pelas primeiras coordenadas \lambda=3, pelas segundas \lambda=3, mas pela terceira coordenada teríamos 2=3\cdot 3, o que é falso. Portanto são linearmente independentes. Como são dois vetores em um espaço de dimensão 2, formam uma base de H^{\perp}.

Passo 8

Só para confirmar rapidamente que nenhuma outra opção com dois vetores funciona: por exemplo a opção (B) tem (-2,3,3,-2) cujo produto com v_1 é -1\cdot(-2)+2\cdot 3 = 2+6=8\neq 0, logo (B) falha; opções (E) e (H) também falham porque pelo menos um vetor delas não é ortogonal a v_1 (pode-se checar exatamente como em (B)). Assim a única opção correta é a (C).

Resposta

(C)

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