Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Informações relevantes dadas: os três geradores de indicados acima. Não há outras informações externas.
Informações relevantes dadas: os três geradores de
Passo 2
Primeiro preciso saber a dimensão de
para saber a dimensão de
. Vou checar se os vetores geradores são linearmente independentes. Procuro constantes
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da segunda equação vem
. Então da primeira
. A quarta equação
também é satisfeita por
. Logo existe combinação linear:
. Portanto
é dependente dos dois primeiros.
Passo 3
Como
e
são linearmente independentes (verificável rapidamente: não há escalar
tal que
), a dimensão de
é
. Em
vale a relação
logo
. Assim qualquer base de
deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes e ambos devem ser ortogonais a todos os vetores de
.
Passo 4
Vou escrever a condição geral de ortogonalidade. Um vetor genérico
pertence a
se e somente se
Calculo essas produto internos:
As condições são o sistema linear
Passo 5
Resolvendo o sistema: da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Igualando,
. A coordenada
não aparece em nenhuma equação, portanto é livre. Tomando parâmetros
e
com
e
, temos
Logo uma base conveniente de
é, por exemplo, os vetores
Qualquer base de
deve consistir de dois vetores que sejam combinação linear destes (i.e., vetores do tipo
) e que sejam linearmente independentes entre si.
Passo 6
Agora verifico as opções dadas. Pela dimensão, elimino imediatamente todas as opções que têm apenas um vetor:
estão descartadas. Resta checar as opções com dois vetores. Para um vetor candidato
ser membro de
basta checar
e
.
Passo 7
Testo a opção (C): os vetores são
e
.
Calculo produtos com e
:
Calculo produtos com
Para
:
Para
:
Portanto ambos pertencem a
. Falta verificar que são linearmente independentes. Se existisse
tal que
, então pelas primeiras coordenadas
, pelas segundas
, mas pela terceira coordenada teríamos
, o que é falso. Portanto são linearmente independentes. Como são dois vetores em um espaço de dimensão
, formam uma base de
.
Passo 8
Só para confirmar rapidamente que nenhuma outra opção com dois vetores funciona: por exemplo a opção (B) tem
cujo produto com
é
, logo (B) falha; opções (E) e (H) também falham porque pelo menos um vetor delas não é ortogonal a
(pode-se checar exatamente como em (B)). Assim a única opção correta é a (C).
Resposta
(C)