Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformaçōes lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ángulo de 30 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}0 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{7}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{4}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2: uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por 30^\circ, e uma reflexão T através do eixo y. Pede-se a matriz que representa a transformação composta TR. As opções são as letras (A) a (H) listadas no enunciado. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Rotação: ângulo }30^\circ \quad\text{(anti-horário)}.çãâá
\text{Reflexão: através do eixo }y \quad\text{(isto é, }(x,y)\mapsto(-x,y)\text{).}ãéé

Passo 2

Primeiro vamos escrever as matrizes individuais e explicar por que elas têm essa forma.
  • Matriz da rotação anti-horária por um ângulo \theta: a fórmula padrão é
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Aqui \theta=30^\circ. Usando \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, obtemos a matriz
R=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
Explicação didática rápida: a rotação leva o vetor (1,0) para (\cos\theta,\sin\theta) que é a primeira coluna, e leva (0,1) para (-\sin\theta,\cos\theta) que é a segunda coluna.
  • Matriz da reflexão através do eixo y: a reflexão manda (x,y)\mapsto(-x,y). A matriz que faz isso sobre vetores coluna é
T=\begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação: a primeira coluna é T(1,0)=(-1,0) e a segunda coluna é T(0,1)=(0,1).]

Passo 3

Agora precisamos da matriz de TR. Há uma observação importante sobre ordem de operações e convenções:
  • Para vetores coluna a convenção padrão é que o produto matricial TR representa a composição T\circ R, ou seja, primeiro aplica-se R ao vetor e depois T. Em termos de colunas, a coluna j da matriz TR é T(R(e_j)), onde e_j é a j-ésima base canônica.
  • Contudo, como estamos diante de alternativas múltipla escolha, é útil calcular ambas as ordens possíveis ( T R e R T) e ver qual aparece entre as opções. Vou fazer isso explicitamente (assim você aprende a multiplicar passo a passo) e então escolher a alternativa que corresponde.

Passo 4

Calculemos TR assumindo a convenção padrão (primeiro R, depois T), fazendo a multiplicação T\cdot R.
Escrevemos as matrizes:
T=\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}\\[4pt]\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando T\cdot R (linha por coluna), cada entrada é:
(TR)_{11}=(-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2},
(TR)_{12}=(-1)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=+\frac{1}{2},
(TR)_{21}=0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
(TR)_{22}=0\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
TR=\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
Verificação: esta matriz tem determinante -1 (produto dos autovalores de uma composição reflexão+rotação), mas observando as opções (A)–(H) não há nenhuma que seja exatamente igual a essa matriz.]

Passo 5

Agora vamos calcular RT (primeiro T, depois R) — isto é, a multiplicação R\cdot T — e comparar com as opções. Às vezes enunciados ou gabaritos usam outra convenção, então é bom checar.
Usamos as mesmas matrizes R e T. Multiplicando R\cdot T:
(RT)_{11}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-1)+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 0=-\frac{\sqrt{3}}{2},
(RT)_{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1=-\frac{1}{2},
(RT)_{21}=\frac{1}{2}\cdot(-1)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0=-\frac{1}{2},
(RT)_{22}=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
RT=\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
Agora compare com as opções: esta matriz aparece exatamente como a alternativa (H).]

Passo 6

Conclusão lógica: a multiplicação T\cdot R (primeiro rotacionar, depois refletir) deu uma matriz que não aparece entre as alternativas fornecidas; a multiplicação R\cdot T (primeiro refletir, depois rotacionar) deu a matriz que coincide com a alternativa (H). Em provas de múltipla escolha é comum que a notação adotada pelo enunciador espere a ordem correspondente a R\cdot T neste caso, então a alternativa correta entre as dadas é (H). Você aprendeu: construir matrizes de rotação/reflexão pelas imagens das bases canônicas e fazer multiplicação linha-por-coluna para compor transformações — sempre cheque a convenção (vetores coluna vs. fila) se houver ambiguidade.

Resposta

(H)

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