Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede para identificar em qual dos intervalos dados está o ângulo entre os vetores
e
em
.
Informações dadas:
vetor
vetor
Pergunta: determinar o intervalo de entre
e
dentre as alternativas (A) a (H).
Informações dadas:
Pergunta: determinar o intervalo de
Passo 2
Definição e fórmula úteis (sem resolver ainda):
O produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores e
em
é
O produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores
A norma (comprimento) de um vetor
é
A relação entre produto interno e ângulo
entre
e
é
válida para qualquer dimensão
. Nesta fórmula,
é um número real,
e
são positivos, e
.
Passo 3
Calcular o produto interno
usando as componentes dadas, multiplicando componente a componente e somando:
Agora computamos cada termo:
,
,
,
. Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
separadamente, somando quadrados das componentes e extraindo raiz quadrada:
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno com os valores encontrados:
Expliquei o que cada símbolo significa:
é o produto escalar,
e
são os comprimentos; o quociente dá
.
Passo 6
Estimativa numérica do cosseno para comparar com os valores das alternativas (sem usar aritmética complicada): calcular aproximadamente
. Sabemos
e
, então
está entre
e
, aproximadamente
. Assim
Portanto
é um número negativo próximo de
.
Passo 7
Determinar em que intervalo de ângulos isso coloca
. Observações úteis (valores conhecidos do cosseno em ângulos notáveis):
A função
é estritamente decrescente em
. Como
está entre
e
, segue que
(Se
estivesse maior que
seria
; se
seria
. Aqui fica estritamente entre.)
Passo 8
Conferindo com as alternativas dadas, a que cobre
é a alternativa (E). Nosso caso é
, que está contido em (E). Uma estimativa em graus seria
, que também cai entre
e
.
Resposta
(E)