Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (0,4,1,3) e (2,-5,-1,5) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede para identificar em qual dos intervalos dados está o ângulo entre os vetores (0,4,1,3) e (2,-5,-1,5) em \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
\quad vetor u=(0,4,1,3)
\quad vetor v=(2,-5,-1,5)
Pergunta: determinar o intervalo de \theta entre u e v dentre as alternativas (A) a (H).

Passo 2

Definição e fórmula úteis (sem resolver ainda):
O produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n é
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n.
A norma (comprimento) de um vetor u é
\|u\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2}.
A relação entre produto interno e ângulo \theta entre u e v é
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|},
válida para qualquer dimensão n. Nesta fórmula, \langle u,v\rangle é um número real, \|u\| e \|v\| são positivos, e \theta\in[0,\pi].

Passo 3

Calcular o produto interno \langle u,v\rangle usando as componentes dadas, multiplicando componente a componente e somando:
\langle u,v\rangle = (0)(2) + (4)(-5) + (1)(-1) + (3)(5).
Agora computamos cada termo: (0)(2)=0, (4)(-5)=-20, (1)(-1)=-1, (3)(5)=15. Somando:
\langle u,v\rangle = 0-20-1+15 = -6.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\| separadamente, somando quadrados das componentes e extraindo raiz quadrada:
Para u=(0,4,1,3):
\|u\| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{0+16+1+9} = \sqrt{26}.
Para v=(2,-5,-1,5):
\|v\| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4+25+1+25} = \sqrt{55}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno com os valores encontrados:
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{-6}{\sqrt{26}\,\sqrt{55}} = \frac{-6}{\sqrt{26\cdot 55}} = \frac{-6}{\sqrt{1430}}.
Expliquei o que cada símbolo significa: \langle u,v\rangle=-6 é o produto escalar, \|u\|=\sqrt{26} e \|v\|=\sqrt{55} são os comprimentos; o quociente dá \cos\theta.

Passo 6

Estimativa numérica do cosseno para comparar com os valores das alternativas (sem usar aritmética complicada): calcular aproximadamente \sqrt{1430}. Sabemos 37^2=1369 e 38^2=1444, então \sqrt{1430} está entre 37 e 38, aproximadamente 37{,}82. Assim
\cos\theta \approx \frac{-6}{37{,}82} \approx -0{,}1586.
Portanto \cos\theta é um número negativo próximo de -0{,}16.

Passo 7

Determinar em que intervalo de ângulos isso coloca \theta. Observações úteis (valores conhecidos do cosseno em ângulos notáveis):
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5.
A função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi]. Como \cos\theta\approx -0{,}1586 está entre 0 e -0{,}5, segue que
\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}.
(Se \cos\theta estivesse maior que 0 seria \theta<\pi/2; se \cos\theta\le -0{,}5 seria \theta\ge 2\pi/3. Aqui fica estritamente entre.)

Passo 8

Conferindo com as alternativas dadas, a que cobre \pi/2<\theta\le 2\pi/3 é a alternativa (E). Nosso caso é \pi/2<\theta<2\pi/3, que está contido em (E). Uma estimativa em graus seria \theta\approx 99^\circ, que também cai entre 90^\circ e 120^\circ.

Resposta

(E)

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