O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} e as imagens dos vetores da base por A:
Também é dada a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], ou seja, M tem como colunas os vetores da base \beta.
A pergunta implícita: qual das alternativas (A)–(H) é verdadeira?
Passo 2
Fato útil (muito prático para prova): o produto A M tem como colunas A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Explico porquê de forma simples: se M=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}], então
A M = \big[A\vec{v}_{1}\\ \; A\vec{v}_{2}\\ \; A\vec{v}_{3}\big].
Isto decorre da propriedade de multiplicação de matrizes coluna a coluna: multiplicar A por uma matriz consiste em aplicar A a cada coluna dessa matriz.
Passo 3
Vamos reescrever as imagens dadas como combinações lineares da base \beta. Cada combinação nos dá a coluna correspondente da matriz da transformação A na base \beta.