Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=2 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-2 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
(A) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(B) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right] M
(C) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & -4\end{array}\right]
(D) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(E) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(F) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & -4\end{array}\right] M
(G) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
(H) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} e as imagens dos vetores da base por A:
A\vec{v}_{1}=2\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
Também é dada a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], ou seja, M tem como colunas os vetores da base \beta.
A pergunta implícita: qual das alternativas (A)–(H) é verdadeira?

Passo 2

Fato útil (muito prático para prova): o produto A M tem como colunas A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Explico porquê de forma simples: se M=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}], então
A M = \big[A\vec{v}_{1}\\ \; A\vec{v}_{2}\\ \; A\vec{v}_{3}\big].
Isto decorre da propriedade de multiplicação de matrizes coluna a coluna: multiplicar A por uma matriz consiste em aplicar A a cada coluna dessa matriz.

Passo 3

Vamos reescrever as imagens dadas como combinações lineares da base \beta. Cada combinação nos dá a coluna correspondente da matriz da transformação A na base \beta.
Dados:
A\vec{v}_{1}=2\vec{v}_{1}=2\vec{v}_{1}+0\vec{v}_{2}+0\vec{v}_{3}.
Logo as coordenadas de A\vec{v}_{1} na base \beta são
\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Dados:
A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{3}=1\vec{v}_{1}+0\vec{v}_{2}+(-2)\vec{v}_{3}.
Logo as coordenadas de A\vec{v}_{2} na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Dados:
A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}=1\vec{v}_{1}+0\vec{v}_{2}+(-4)\vec{v}_{3}.
Logo as coordenadas de A\vec{v}_{3} na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz de A relativa à base \beta (i.e., a matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_{j} em \beta) é, portanto,
C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -4 \end{pmatrix},
pois colocamos em cada coluna as coordenadas encontradas nos passos anteriores.]

Passo 5

Usando o fato do Passo 2 e a matriz C do Passo 4, temos a relação
A M = M C.
Substituindo C, obtemos
A M = M\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide exatamente com a igualdade acima é a alternativa (C):
\text{\text{(C)}}\quad A M = M\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}.]

Resposta

(C)

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