Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado pede para calcular a projeção ortogonal de
sobre o subespaço
Informações dadas e o que se pede:
Pediram
, a projeção ortogonal de
em
, e especificamente o valor da 3ª entrada
de
.
Passo 2
Identificar o vetor normal a
. A equação
pode ser escrita como produto escalar com um vetor normal
:
pois para
vale
. Logo
é o subespaço ortogonal a
(mais precisamente,
).
Passo 3
Plano de resolução — por que projetar em
é mais fácil:
Os vetores em podem ser decompostos numa componente em
e outra em
:
Os vetores em
onde
e
. A projeção em
é então
ou seja, basta encontrar a projeção
. Como
é a reta gerada por
, projetar em
reduz-se a projetar
sobre o vetor
, usando a fórmula do produto escalar — isso é bem simples.
Passo 4
Fórmula da projeção de
sobre a direção de
:
Se , a projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
é
Se
Explicando:
é o produto escalar (soma dos produtos das entradas correspondentes) e
é o quadrado da norma de
. O quociente dá o escalar que multiplica
para obter a componente de
na direção de
.
Passo 5
Calcular os produtos escalares necessários:
Primeiro calculemos .
Primeiro calculemos
Façamos passo a passo:
Somando:
Agora calculemos
:
Passo 6
Calcular a projeção de
em
:
Usando a fórmula,
Usando a fórmula,
Portanto
Passo 7
Obter a projeção em
subtraindo a componente em
:
Subtraindo coordenada a coordenada:
Calculando cada entrada:
Logo
Resposta
(E) 5