Q12: Sejam \vec{v}=(-20,-4,8,3) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a projeção ortogonal de \vec{v}=(-20,-4,8,3) sobre o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
Informações dadas e o que se pede:
\vec{v}=(-20,-4,8,3).
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
Pediram \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} em H, e especificamente o valor da 3ª entrada w_3 de \vec{w}.

Passo 2

Identificar o vetor normal a H. A equação x-2y+3z+w=0 pode ser escrita como produto escalar com um vetor normal \vec{n}:
\vec{n}=(1,-2,3,1),
pois para (x,y,z,w)\in H vale \vec{n}\cdot(x,y,z,w)=0. Logo H é o subespaço ortogonal a \vec{n} (mais precisamente, H=\vec{n}^\perp).

Passo 3

Plano de resolução — por que projetar em H^\perp é mais fácil:
Os vetores em \mathbb{R}^4 podem ser decompostos numa componente em H e outra em \operatorname{span}\{\vec{n}\}=H^\perp:
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^\perp. A projeção em H é então
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u},
ou seja, basta encontrar a projeção \vec{u}=P_{H^\perp}\vec{v}. Como H^\perp é a reta gerada por \vec{n}, projetar em H^\perp reduz-se a projetar \vec{v} sobre o vetor \vec{n}, usando a fórmula do produto escalar — isso é bem simples.

Passo 4

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre a direção de \vec{n}:
Se \vec{n}\neq\vec{0}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n} é
P_{\operatorname{span}\{\vec{n}\}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Explicando: \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (soma dos produtos das entradas correspondentes) e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}. O quociente dá o escalar que multiplica \vec{n} para obter a componente de \vec{v} na direção de \vec{n}.

Passo 5

Calcular os produtos escalares necessários:
Primeiro calculemos \vec{v}\cdot\vec{n}.
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-20)\cdot 1 + (-4)\cdot(-2) + 8\cdot 3 + 3\cdot 1.
Façamos passo a passo:
(-20)\cdot 1 = -20,
(-4)\cdot(-2)=8,
8\cdot 3=24,
3\cdot 1=3.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=-20+8+24+3=15.
Agora calculemos \vec{n}\cdot\vec{n}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-2)^2+3^2+1^2=1+4+9+1=15.

Passo 6

Calcular a projeção de \vec{v} em H^\perp:
Usando a fórmula,
\vec{u}=P_{H^\perp}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}=\frac{15}{15}\,\vec{n}=1\cdot\vec{n}=\vec{n}.
Portanto
\vec{u}=(1,-2,3,1).

Passo 7

Obter a projeção em H subtraindo a componente em H^\perp:
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}=(-20,-4,8,3)-(1,-2,3,1).
Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{w}=(-20-1,\;-4-(-2),\;8-3,\;3-1).
Calculando cada entrada:
-20-1=-21,
-4-(-2)=-4+2=-2,
8-3=5,
3-1=2.
Logo
\vec{w}=(-21,-2,5,2).

Resposta

(E) 5

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