Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(1,0,-3,0),(-1,0,0,3),(7,0,-12,-9)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(6,4,2,2)\}
(B) \{(4,-2,2,4)\}
(C) \{(9,-1,3,3)\}
(D) \{(9,-1,3,3),(6,4,2,2)\}
(E) \{(4,-2,3,4)\}
(F) \{(9,-1,3,3),(4,-2,3,4)\}
(G) \{(4,-2,2,4),(4,-2,3,4)\}
(H) \{(4,-2,2,4),(6,4,2,2)\}

Passo 1

O enunciado define o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} como
H=\operatorname{span}\{(1,0,-3,0),\;(-1,0,0,3),\;(7,0,-12,-9)\}.
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)? As informações relevantes: os três vetores geradores de H estão dados explicitamente; precisamos determinar o espaço de todos os vetores de \mathbb{R}^{4} ortogonais a esses três vetores e verificar qual opção fornece uma base desse espaço.

Passo 2

O que é H^{\perp}? Por definição,
H^{\perp}=\{v\in\mathbb{R}^{4}\mid v\cdot u=0\text{ para todo }u\in H\},
ou seja, H^{\perp} é o conjunto dos vetores que têm produto escalar zero com cada gerador de H. Lembrete do produto escalar: para v=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e u=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}),
v\cdot u = x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u_{3}+x_{4}u_{4}.
Nossa estratégia: tomar um vetor genérico v=(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4} e impor que ele seja ortogonal a cada um dos três vetores geradores de H; isso gera um sistema linear cujas soluções descrevem H^{\perp}.

Passo 3

Seja v=(x,y,z,w). Fazendo o produto escalar com cada gerador de H:
Com u_{1}=(1,0,-3,0):
v\cdot u_{1}=x + 0\cdot y -3z + 0\cdot w = x-3z=0.
Com u_{2}=(-1,0,0,3):
v\cdot u_{2}=-x + 0\cdot y + 0\cdot z + 3w = -x+3w=0.
Com u_{3}=(7,0,-12,-9):
v\cdot u_{3}=7x + 0\cdot y -12z -9w = 7x-12z-9w=0.
Portanto o sistema é
\begin{cases} x-3z=0,\\[4pt] -x+3w=0,\\[4pt] 7x-12z-9w=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
x=3z.
Da segunda:
x=3w.
Comparando as duas expressões para x obtemos 3z=3w, logo
z=w.
Agora substituo x=3z e z=w na terceira equação para checar consistência:
7x-12z-9w = 7(3z)-12z-9z = 21z-12z-9z = 0.
A terceira equação é consequência das duas primeiras (é redundante). Então livremente escolhemos parâmetros para as variáveis não determinadas: y não aparece em nenhuma equação, então y é livre; escolhemos y=a. Tomamos w=t; então z=t e x=3t.
Assim o vetor geral de H^{\perp} é
v=(x,y,z,w)=(3t,\;a,\;t,\;t)=a(0,1,0,0)+t(3,0,1,1),
com a,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Da expressão acima vemos que H^{\perp} é o subespaço gerado por dois vetores:
H^{\perp}=\operatorname{span}\{(0,1,0,0),\;(3,0,1,1)\}.
Esses dois vetores são linearmente independentes (claramente não são múltiplos um do outro), logo formam uma base de H^{\perp}. Observação: a dimensão de H^{\perp} é 2, consistente com \dim(H) ser 2 ou 3 — aqui os três vetores geradores de H têm dependência linear (o sistema mostrou redundância), portanto \dim(H)=2 e \dim(H^{\perp})=4-\dim(H)=2.

Passo 6

Agora verifico quais vetores das opções pertencem a H^{\perp}. Pelo parâmetro obtido, um vetor v=(x,y,z,w) está em H^{\perp} exatamente quando
x=3z\quad\text{e}\quad z=w,
com y arbitrário. Testo cada vetor das opções (estou usando as coordenadas dadas nas opções):
  • (6,4,2,2): aqui x=6, z=2, w=2. Verifico x=3z\iff 6=3\cdot 2 (verdade) e z=w\iff 2=2 (verdade). Portanto (6,4,2,2)\in H^{\perp}.
  • (4,-2,2,4): x=4, z=2, w=4. Verifico x=3z\iff 4=6 (falso). Logo (4,-2,2,4)\notin H^{\perp}.
  • (9,-1,3,3): x=9, z=3, w=3. Verifico 9=3\cdot 3 e 3=3 (ambas verdadeiras). Logo (9,-1,3,3)\in H^{\perp}.
  • (4,-2,3,4): x=4, z=3, w=4. Verifico 4=3\cdot 3 é falso. Logo (4,-2,3,4)\notin H^{\perp}.
Concluo que, dentre as vetores apresentados nas alternativas, apenas (6,4,2,2) e (9,-1,3,3) pertencem a H^{\perp}.

Passo 7

Verifico agora se o par \{(9,-1,3,3),\;(6,4,2,2)\}\) forma uma base de \(H^{\perp}\). Primeiro noto que ambos pertencem a \(H^{\perp}\) (Passo 6). Falta checar independência linear: suponha \[\alpha(9,-1,3,3)+\beta(6,4,2,2)=(0,0,0,0).
Das coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} 9\alpha+6\beta=0,\\[4pt] -\alpha+4\beta=0. \end{cases}
Da segunda equação \alpha=4\beta\]. Substituindo na primeira: \[9(4\beta)+6\beta=36\beta+6\beta=42\beta=0\implies \beta=0\implies \alpha=0.\] Portanto são linearmente independentes. Como \(\dim(H^{\perp})=2, um conjunto de dois vetores independentes em H^{\perp} é uma base. Logo \{(9,-1,3,3),(6,4,2,2)\} é uma base de H^{\perp}.
Nenhuma das alternativas que contém apenas um vetor (A),(B),(C),(E) pode ser base porque \dim(H^{\perp})=2. Outras duplas que incluem vetores fora de H^{\perp} também não podem ser base. A alternativa que corresponde ao par correto é a (D).]

Resposta

(D)

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