Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (-2,3,-5,0) e (5,1,2,-3) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4:
\mathbf{u}=(-2,3,-5,0),\qquad \mathbf{v}=(5,1,2,-3),
e define \theta como o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. A pergunta é: em qual intervalo dentre as alternativas fornecidas \theta se encontra? As alternativas cobrem faixas em radianos entre 0 e \pi.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (lembrete didático): o cosseno do ângulo entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Aqui:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar, definido para \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n) como \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n u_i v_i.
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) do vetor, definida como \|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}.
    Essas fórmulas valem em qualquer dimensão n, inclusive em \mathbb{R}^4. Vamos calcular cada termo.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} multiplicando componentes correspondentes e somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-2)\cdot 5 + 3\cdot 1 + (-5)\cdot 2 + 0\cdot(-3).
Fazendo as contas termo a termo:
(-2)\cdot 5=-10,\quad 3\cdot 1=3,\quad (-5)\cdot 2=-10,\quad 0\cdot(-3)=0.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-10+3-10+0=-17.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.
Para \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-5)^2+0^2}=\sqrt{4+9+25+0}=\sqrt{38}.
Para \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{5^2+1^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{25+1+4+9}=\sqrt{39}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{-17}{\sqrt{38}\,\sqrt{39}}=\frac{-17}{\sqrt{38\cdot 39}}=\frac{-17}{\sqrt{1482}}.
Queremos saber em que intervalo \theta está. Note as referências úteis:
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}.
Se mostrarmos que -\tfrac{1}{2}<\cos\theta<0, então \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{2\pi}{3}, o que encaixa na alternativa (E) que usa \frac{\pi}{2}<\theta\le \frac{2\pi}{3}.

Passo 6

Primeiro, \cos\theta<0 porque o numerador -17 é negativo e o denominador \sqrt{1482} é positivo, logo \cos\theta<0 implica \theta>\frac{\pi}{2}.
Agora provamos \cos\theta>-\tfrac{1}{2}. Isso é equivalente a
\frac{-17}{\sqrt{1482}} > -\frac{1}{2}
como ambos os lados são negativos podemos multiplicar por -1 invertendo a desigualdade:
\frac{17}{\sqrt{1482}} < \frac{1}{2}.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado (mantendo a desigualdade pois ambos os lados são positivos):
\frac{17^2}{1482} < \frac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 17^2 < \frac{1482}{4}.
Calculemos os termos:
17^2=289,\qquad \frac{1482}{4}=370{,}5.
Como 289<370{,}5, a desigualdade vale. Portanto \frac{17}{\sqrt{1482}}<\frac{1}{2}, ou seja
-\tfrac{1}{2}<\cos\theta<0.
Isso implica
\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{2\pi}{3}.
Assim \theta está estritamente entre \frac{\pi}{2} e \frac{2\pi}{3}, logo satisfa z a alternativa que afirma \frac{\pi}{2}<\theta\le \frac{2\pi}{3} (a inclusão no limite superior não prejudica a escolha, pois nosso \theta é menor que \tfrac{2\pi}{3}).

Passo 7

Para intuição numérica rápida (não necessária para justificar a opção, apenas para dar sensação de valor): \sqrt{1482}\approx 38{,}5 porque 38{,}5^2=1482{,}25. Assim
\cos\theta\approx -\frac{17}{38{,}5}\approx -0{,}4416,
e \operatorname{arccos}(-0{,}4416)\approx 116^\circ (cerca de 2{,}03 rad), que está entre 90^\circ e 120^\circ, confirmando a escolha.

Resposta

(E)

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