Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
e define
como o ângulo entre
e
. A pergunta é: em qual intervalo dentre as alternativas fornecidas
se encontra? As alternativas cobrem faixas em radianos entre
e
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (lembrete didático): o cosseno do ângulo entre dois vetores
e
é dado por
Aqui:
-
é o produto escalar, definido para e como . -
é a norma (comprimento) do vetor, definida como .
Essas fórmulas valem em qualquer dimensão, inclusive em . Vamos calcular cada termo.
Passo 3
Calcular o produto escalar
multiplicando componentes correspondentes e somando:
Fazendo as contas termo a termo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo na fórmula do cosseno:
Queremos saber em que intervalo
está. Note as referências úteis:
Se mostrarmos que
, então
, o que encaixa na alternativa (E) que usa
.
Passo 6
Primeiro,
porque o numerador
é negativo e o denominador
é positivo, logo
implica
.
Agora provamos
. Isso é equivalente a
como ambos os lados são negativos podemos multiplicar por
invertendo a desigualdade:
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado (mantendo a desigualdade pois ambos os lados são positivos):
Calculemos os termos:
Como
, a desigualdade vale. Portanto
, ou seja
Isso implica
Assim
está estritamente entre
e
, logo satisfa z a alternativa que afirma
(a inclusão no limite superior não prejudica a escolha, pois nosso
é menor que
).
Passo 7
Para intuição numérica rápida (não necessária para justificar a opção, apenas para dar sensação de valor):
porque
. Assim
e
(cerca de
rad), que está entre
e
, confirmando a escolha.
Resposta
(E)