e o vetor \vec{v}=(-6,6,-22,0,15).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
Dá uma base ORTOGONAL \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\} com
(e os outros vetores também foram fornecidos, mas não precisamos deles para esta pergunta).\n
Dá o vetor \vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\\ 6\\\ -22\\\ 0\\\ 15\end{pmatrix}.\n
Pede a entrada x_{4} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta}, ou seja, a coordenada de \vec{v} na direção do quarto vetor da base.
Passo 2
Conceito chave (explicado passo a passo): produto interno e coordenada em base ortogonal.\n
Produto interno (ou produto escalar) em \mathbb{R}^{5}: para dois vetores u=(u_{1},\dots,u_{5}) e w=(w_{1},\dots,w_{5}) definimos
u\cdot w = u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}+u_{3}w_{3}+u_{4}w_{4}+u_{5}w_{5}.
Isso é só somar produtos de coordenadas correspondentes.\n
Por que isso resolve rápido para bases ortogonais: se \beta é ortogonal e \vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i} b_{i}, então ao fazer o produto escalar com b_{j} temos
Essa é a projeção de \vec{v} sobre b_{j}, ajustada pelo comprimento de b_{j}. Não precisamos resolver sistemas lineares — só calcular dois produtos escalares.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso j=4. Primeiro calculamos o numerador \vec{v}\cdot b_{4}.\n
Escrevendo os componentes: