Q16: Considere a base ORTOGONAL de
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ 4 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 6 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -3 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -4 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\}
e o vetor
\vec{v}=(-6,6,-22,0,15).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dá uma base ORTOGONAL \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\} com
b_{4}=\begin{pmatrix}-1\\\ -4\\\ 4\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}
(e os outros vetores também foram fornecidos, mas não precisamos deles para esta pergunta).\n
  • Dá o vetor \vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\\ 6\\\ -22\\\ 0\\\ 15\end{pmatrix}.\n
  • Pede a entrada x_{4} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta}, ou seja, a coordenada de \vec{v} na direção do quarto vetor da base.

Passo 2

Conceito chave (explicado passo a passo): produto interno e coordenada em base ortogonal.\n
  • Produto interno (ou produto escalar) em \mathbb{R}^{5}: para dois vetores u=(u_{1},\dots,u_{5}) e w=(w_{1},\dots,w_{5}) definimos
u\cdot w = u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}+u_{3}w_{3}+u_{4}w_{4}+u_{5}w_{5}.
Isso é só somar produtos de coordenadas correspondentes.\n
  • Por que isso resolve rápido para bases ortogonais: se \beta é ortogonal e \vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i} b_{i}, então ao fazer o produto escalar com b_{j} temos
\vec{v}\cdot b_{j}=\sum_{i=1}^{5} x_{i}\,(b_{i}\cdot b_{j}).
Como a base é ortogonal, b_{i}\cdot b_{j}=0 para i\neq j, sobrando apenas o termo i=j. Logo
\vec{v}\cdot b_{j}=x_{j}\,(b_{j}\cdot b_{j}).
Isolando x_{j} obtemos a fórmula prática:
x_{j}=\frac{\vec{v}\cdot b_{j}}{b_{j}\cdot b_{j}}.
Essa é a projeção de \vec{v} sobre b_{j}, ajustada pelo comprimento de b_{j}. Não precisamos resolver sistemas lineares — só calcular dois produtos escalares.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso j=4. Primeiro calculamos o numerador \vec{v}\cdot b_{4}.\n
Escrevendo os componentes:
\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\\ 6\\\ -22\\\ 0\\\ 15\end{pmatrix},\qquad b_{4}=\begin{pmatrix}-1\\\ -4\\\ 4\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
O produto escalar é
\vec{v}\cdot b_{4}=(-6)(-1)+6(-4)+(-22)(4)+0(1)+15(2).
Agora calculamos termo a termo:
(-6)(-1)=6,\quad 6(-4)=-24,\quad (-22)(4)=-88,\quad 0(1)=0,\quad 15(2)=30.
Somando:
\vec{v}\cdot b_{4}=6-24-88+0+30.

Passo 4

Continuando a soma do numerador:
6-24=-18,\quad -18-88=-106,\quad -106+30=-76.
Logo
\vec{v}\cdot b_{4}=-76.

Passo 5

Calculamos o denominador b_{4}\cdot b_{4}, que é a soma dos quadrados das componentes de b_{4}:
b_{4}\cdot b_{4}=(-1)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}+1^{2}+2^{2}=1+16+16+1+4.
Somando:
b_{4}\cdot b_{4}=38.

Passo 6

Agora usamos a fórmula
x_{4}=\frac{\vec{v}\cdot b_{4}}{b_{4}\cdot b_{4}}=\frac{-76}{38}.
Simplificando a fração:
\frac{-76}{38}=-2.

Resposta

-2

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