Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-1,1,-3),(0,-1,4)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(1,5,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3
H=\operatorname{span}\{(-1,1,-3),(0,-1,4)\}
e
M=\operatorname{span}\{(1,5,1)\}.
Pede-se encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}).
Informações relevantes listadas:
  • Qualquer vetor em H é combinação linear de (-1,1,-3) e (0,-1,4).
  • M^{\perp} é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor (1,5,1); ou seja, \vec{v}\in M^{\perp} se e só se \vec{v}\cdot(1,5,1)=0.
  • Procuramos um vetor em H cuja primeira coordenada seja -1 e que seja ortogonal a (1,5,1).

Passo 2

Vamos representar um vetor arbitrário de H como combinação linear dos geradores. Seja a,b\in\mathbb{R} e considre
\vec{v}=a(-1,1,-3)+b(0,-1,4).
Aqui a e b são escalares que descrevem qualquer vetor em H. Vou escrever as coordenadas de \vec{v} explicitamente para ficar claro como aparecem as três coordenadas.

Passo 3

Calculemos as coordenadas de \vec{v}. Fazendo a combinação linear componente a componente:
\vec{v}=( -a+0\cdot b,\; a - b,\; -3a + 4b ).
Ou seja,
\vec{v}=(-a,\; a-b,\; -3a+4b).

Passo 4

Imponha a condição da primeira coordenada: queremos \vec{v}=(-1,x_2,x_3), então a primeira coordenada deve ser -1. Assim
-a = -1 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Isto fixa a. Substituindo a=1 nas outras coordenadas obtemos uma descrição mais simples de todos os vetores de H com primeira coordenada -1.

Passo 5

Com a=1 temos
\vec{v}=(-1,\;1-b,\;-3+4b).
Portanto, neste formato x_2=1-b e x_3=-3+4b. Agora falta usar a condição \vec{v}\in M^{\perp}, ou seja, \vec{v} deve ser ortogonal a (1,5,1).

Passo 6

Lembrando a definição do produto escalar (dot product): para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) temos
\vec{u}\cdot\vec{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.
Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é zero. Aplicamos isso a \vec{v} e (1,5,1):
\vec{v}\cdot(1,5,1)=0.

Passo 7

Calculemos o produto escalar com as componentes que já temos:
\vec{v}\cdot(1,5,1)=(-1)\cdot 1 + (1-b)\cdot 5 + (-3+4b)\cdot 1.
Efetuando as multiplicações:
-1 + 5(1-b) + (-3+4b).

Passo 8

Simplifiquemos a expressão passo a passo:
-1 + 5(1-b) + (-3+4b) = -1 + 5 -5b -3 +4b.
Agora some os termos constantes e os termos com b:
(-1+5-3) + (-5b+4b) = 1 - b.
Portanto a condição \vec{v}\cdot(1,5,1)=0 vira
1 - b = 0.

Passo 9

Resolva para b:
1-b=0 \quad\Rightarrow\quad b=1.

Passo 10

Com b=1 substituímos na expressão de x_3 obtida antes: x_3=-3+4b. Assim
x_3 = -3 + 4\cdot 1 = -3 + 4 = 1.
Podemos também anotar x_2=1-b=1-1=0, então o vetor buscado é (-1,0,1). Ele pertence a H (pois veio da combinação com a=1,b=1) e é ortogonal a (1,5,1) (verificável pelo produto escalar).

Resposta

(C) 1

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