Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
e
Pede-se encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Qualquer vetor em
é combinação linear de e . -
é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor ; ou seja, se e só se . - Procuramos um vetor em
cuja primeira coordenada seja e que seja ortogonal a .
Passo 2
Vamos representar um vetor arbitrário de
como combinação linear dos geradores. Seja
e considre
Aqui
e
são escalares que descrevem qualquer vetor em
. Vou escrever as coordenadas de
explicitamente para ficar claro como aparecem as três coordenadas.
Passo 3
Calculemos as coordenadas de
. Fazendo a combinação linear componente a componente:
Ou seja,
Passo 4
Imponha a condição da primeira coordenada: queremos
, então a primeira coordenada deve ser
. Assim
Isto fixa
. Substituindo
nas outras coordenadas obtemos uma descrição mais simples de todos os vetores de
com primeira coordenada
.
Passo 5
Com
temos
Portanto, neste formato
e
. Agora falta usar a condição
, ou seja,
deve ser ortogonal a
.
Passo 6
Lembrando a definição do produto escalar (dot product): para
e
temos
Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é zero. Aplicamos isso a
e
:
Passo 7
Calculemos o produto escalar com as componentes que já temos:
Efetuando as multiplicações:
Passo 8
Simplifiquemos a expressão passo a passo:
Agora some os termos constantes e os termos com
:
Portanto a condição
vira
Passo 9
Resolva para
:
Passo 10
Com
substituímos na expressão de
obtida antes:
. Assim
Podemos também anotar
, então o vetor buscado é
. Ele pertence a
(pois veio da combinação com
) e é ortogonal a
(verificável pelo produto escalar).
Resposta
(C) 1