Q8: Sejam
um conjunto LD e
conjunto LI. Com relaçāo a uma matriz
que satisfizesse as condições abaixo,
(A) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(B) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(C) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(D) Nâo se pode afirmar se existe ou nảo tal
.
(E) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas nāo se pode garantir unicidade.
(F) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que não existe tal
(D) Nâo se pode afirmar se existe ou nảo tal
(E) Pode-se afirmar que
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações (tudo tirado do próprio enunciado):
-
é um conjunto linearmente dependente (LD). -
é um conjunto linearmente independente (LI). - Existe (ou se propõe a existência de) uma matriz
de tamanho tal que
A pergunta é: dada essa situação, qual das alternativas (A)–(F) está correta? O objetivo nas próximas etapas é analisar se tal
pode existir e, com isso, decidir a alternativa correta.
Passo 2
Recordando definições, passo a passo e bem devagar:
- Um conjunto
é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero. Ou seja, existem escalares , nem todos zero, tais que
“Não trivial” significa exatamente que pelo menos um dos
é diferente de zero.
- Um conjunto
é linearmente independente se a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial. Ou seja, se
então necessariamente
.
Essas definições são fundamentais e é nisso que vamos basear o raciocínio.
Passo 3
Propriedade linear da multiplicação por matriz: para qualquer matriz
e quaisquer escalares
e vetores
,
Ou seja,
preserva combinações lineares (essa é a essência de ser uma transformação linear). Vamos aplicar isso ao caso concreto com os
e os coeficientes
vindos da dependência linear.
Passo 4
Como
é LD, existe uma combinação não trivial
com pelo menos um dos
diferente de zero. Agora aplicamos
dos dois lados dessa igualdade e usamos a linearidade (Passo 3):
Pela hipótese de mapeamento temos
, então
Passo 5
O que obtivemos em
é uma relação linear entre
. Mas lembrando do que foi dado,
é LI, então a única possibilidade seria
. Isso contraria o fato inicial de que os
não são todos zero (pois os
são LD). Portanto chegamos a uma contradição lógica: a hipótese de existência de
que mapeie os
nos
leva a uma impossibilidade.
Passo 6
Conclusão lógica: não pode existir nenhuma matriz
que satisfaça simultaneamente
quando as
são LD e as
são LI. A razão é a preservação de relações lineares por transformações lineares — uma combinação não trivial que anula os
seria transportada para uma combinação não trivial que anula os
, o que é impossível se os
são LI.
Força aí: é uma ideia simples e poderosa — transformações lineares não podem “criar” independência onde havia dependência — e é exatamente isso que mostramos.
Resposta
(C) Pode-se afirmar que não existe tal
.