Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathrm{R}^{3} \mathrm{um} conjunto LI. Com relaçāo a uma matriz A 3 \times 3 que satisfizesse as condições abaixo,
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(C) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(D) Nâo se pode afirmar se existe ou nảo tal A.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas nāo se pode garantir unicidade.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações (tudo tirado do próprio enunciado):
  • \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} é um conjunto linearmente dependente (LD).
  • \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} é um conjunto linearmente independente (LI).
  • Existe (ou se propõe a existência de) uma matriz A de tamanho 3\times3 tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
A pergunta é: dada essa situação, qual das alternativas (A)–(F) está correta? O objetivo nas próximas etapas é analisar se tal A pode existir e, com isso, decidir a alternativa correta.

Passo 2

Recordando definições, passo a passo e bem devagar:
  • Um conjunto \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero. Ou seja, existem escalares \;c_{1},c_{2},c_{3}\;, nem todos zero, tais que
c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0}.
“Não trivial” significa exatamente que pelo menos um dos c_{i} é diferente de zero.
  • Um conjunto \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é linearmente independente se a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial. Ou seja, se
d_{1}\vec{b}_{1}+d_{2}\vec{b}_{2}+d_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}
então necessariamente d_{1}=d_{2}=d_{3}=0.
Essas definições são fundamentais e é nisso que vamos basear o raciocínio.

Passo 3

Propriedade linear da multiplicação por matriz: para qualquer matriz A e quaisquer escalares t_{i} e vetores \vec{v}_{i},
A\left(\sum_{i} t_{i}\vec{v}_{i}\right)=\sum_{i} t_{i}A\vec{v}_{i}.
Ou seja, A preserva combinações lineares (essa é a essência de ser uma transformação linear). Vamos aplicar isso ao caso concreto com os \vec{x}_{i} e os coeficientes c_{i} vindos da dependência linear.

Passo 4

Como \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é LD, existe uma combinação não trivial
c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0},
com pelo menos um dos c_{i} diferente de zero. Agora aplicamos A dos dois lados dessa igualdade e usamos a linearidade (Passo 3):
A\big(c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}\big) = c_{1}A\vec{x}_{1}+c_{2}A\vec{x}_{2}+c_{3}A\vec{x}_{3}.
Pela hipótese de mapeamento temos A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i}, então
c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}+c_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}.

Passo 5

O que obtivemos em \;c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}+c_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}\; é uma relação linear entre \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}. Mas lembrando do que foi dado, \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é LI, então a única possibilidade seria c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Isso contraria o fato inicial de que os c_{i} não são todos zero (pois os \vec{x}_{i} são LD). Portanto chegamos a uma contradição lógica: a hipótese de existência de A que mapeie os \vec{x}_{i} nos \vec{b}_{i} leva a uma impossibilidade.

Passo 6

Conclusão lógica: não pode existir nenhuma matriz A que satisfaça simultaneamente
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3},
quando as \vec{x}_{i} são LD e as \vec{b}_{i} são LI. A razão é a preservação de relações lineares por transformações lineares — uma combinação não trivial que anula os \vec{x}_{i} seria transportada para uma combinação não trivial que anula os \vec{b}_{i}, o que é impossível se os \vec{b}_{i} são LI.
Força aí: é uma ideia simples e poderosa — transformações lineares não podem “criar” independência onde havia dependência — e é exatamente isso que mostramos.

Resposta

(C) Pode-se afirmar que não existe tal A.

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