Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matrix 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=3 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{3}\right], então:
(A) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right] M
(B) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -3\end{array}\right]
(C) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(D) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right]
(E) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
(F) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(G) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -3\end{array}\right] M
(H) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}.
  • A ação da transformação linear (matrix) \displaystyle A sobre os vetores da base: A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
  • A matriz M definida pelas colunas sendo os vetores da base: M=\big[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\big].
O que o enunciado pede: determinar qual(es) das alternativas (A)–(H) é(são) verdadeira(s) comparando expressões envolvendo A e M.

Passo 2

Conceito-chave (explicado de forma prática): se M=\big[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\big] tem como colunas os vetores de uma base \beta, então existe uma matriz C tal que
A M = M C,
onde C é a matriz de A relativa à base \beta. Por que isso vale? Porque ao multiplicar A M a j-ésima coluna de A M é A\vec{v}_{j}. Por outro lado, se a j-ésima coluna de C contém as coordenadas de A\vec{v}_{j} na base \beta, então a j-ésima coluna de M C é exatamente essa combinação linear das colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}, ou seja, também é A\vec{v}_{j}. Assim, construir C consiste em escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos \vec{v}_{i} e usar esses coeficientes como colunas de C.
Exemplo concreto e rápido: se A\vec{v}_{2} = 2\vec{v}_{1}-\vec{v}_{3}, então a segunda coluna de C é \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicar o conceito aos dados do enunciado: escrever cada imagem A\vec{v}_{j} em coordenadas relativas à base \beta.
  • Para A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}, isto é já uma combinação linear com coeficientes 3 para \vec{v}_{1} e 0 para \vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. Então a primeira coluna de C é
    \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}, os coeficientes relativos à base são 1 para \vec{v}_{1}, 0 para \vec{v}_{2} e -3 para \vec{v}_{3}. Então a segunda coluna de C é
    \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Para A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3} (mesma combinação que para \vec{v}_{2}), a terceira coluna de C é também
    \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montando a matriz C cujas colunas são as coordenadas encontradas:
C=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -3 \end{pmatrix}.
Pela razão do Passo 2, concluímos a igualdade matricial válida:
A M = M C.]

Passo 5

Comparação com as alternativas: a alternativa (B) afirma exatamente
A M = M\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & -3 & -3\end{pmatrix},
que coincide com a igualdade que acabamos de obter. As demais alternativas apresentam matrizes diferentes ou colocam a forma M A = \dots M, que não coincide com a relação padrão A M = M C com o C que calculamos. Logo, apenas a alternativa (B) é correta.]

Resposta

(B)

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