A base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}.
A ação da transformação linear (matrix) \displaystyle A sobre os vetores da base:A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
A matriz M definida pelas colunas sendo os vetores da base:M=\big[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\big].
O que o enunciado pede: determinar qual(es) das alternativas (A)–(H) é(são) verdadeira(s) comparando expressões envolvendo A e M.
Passo 2
Conceito-chave (explicado de forma prática): se M=\big[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\big] tem como colunas os vetores de uma base \beta, então existe uma matriz C tal que
A M = M C,
onde C é a matriz de A relativa à base \beta. Por que isso vale? Porque ao multiplicar A M a j-ésima coluna de A M é A\vec{v}_{j}. Por outro lado, se a j-ésima coluna de C contém as coordenadas de A\vec{v}_{j} na base \beta, então a j-ésima coluna de M C é exatamente essa combinação linear das colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}, ou seja, também é A\vec{v}_{j}. Assim, construir C consiste em escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos \vec{v}_{i} e usar esses coeficientes como colunas de C.
Exemplo concreto e rápido: se A\vec{v}_{2} = 2\vec{v}_{1}-\vec{v}_{3}, então a segunda coluna de C é \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Passo 3
Aplicar o conceito aos dados do enunciado: escrever cada imagem A\vec{v}_{j} em coordenadas relativas à base \beta.
Para A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}, isto é já uma combinação linear com coeficientes 3 para \vec{v}_{1} e 0 para \vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. Então a primeira coluna de C é
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}, os coeficientes relativos à base são 1 para \vec{v}_{1}, 0 para \vec{v}_{2} e -3 para \vec{v}_{3}. Então a segunda coluna de C é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Para A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3} (mesma combinação que para \vec{v}_{2}), a terceira coluna de C é também
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]
Passo 4
Montando a matriz C cujas colunas são as coordenadas encontradas:
Pela razão do Passo 2, concluímos a igualdade matricial válida:
A M = M C.]
Passo 5
Comparação com as alternativas: a alternativa (B) afirma exatamente
A M = M\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & -3 & -3\end{pmatrix},
que coincide com a igualdade que acabamos de obter. As demais alternativas apresentam matrizes diferentes ou colocam a forma M A = \dots M, que não coincide com a relação padrão A M = M C com o C que calculamos. Logo, apenas a alternativa (B) é correta.]