Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,2,-1,0),(0,0,1,-2),(0,-4,-1,6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(-4,2,4,4),(3,2,3,3)\}
(B) \{(3,2,3,3)\}
(C) \{(-4,4,8,4)\}
(D) \{(-4,2,4,4)\}
(E) \{(1,3,6,3)\}
(F) \{(1,3,6,3),(3,2,3,3)\}
(G) \{(-4,2,4,4),(-4,4,8,4)\}
(H) \{(1,3,6,3),(-4,4,8,4)\}

Passo 1

O enunciado dá um subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores
v_{1}=(0,2,-1,0),\qquad v_{2}=(0,0,1,-2),\qquad v_{3}=(0,-4,-1,6).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base do complemento ortogonal H^{\perp}? Ou seja, entre as alternativas (A) a (H), qual fornece um conjunto de vetores que gera H^{\perp} e é linearmente independente.
Informações relevantes dadas:
  • Os geradores de H são os vetores v_{1},v_{2},v_{3} acima.
  • Precisa-se determinar H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^{4}\mid x\cdot v=0\\ \text{para todo}\\ v\in H\} e comparar com as opções.

Passo 2

O que significa x\in H^{\perp}? Vou explicar de forma direta e sem frescura.
  • Produto escalar: para x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) em \mathbb{R}^{4}, o produto escalar é
x\cdot y = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}.
  • Condição de ortogonalidade: x\in H^{\perp} se e somente se x\cdot v_{i}=0 para cada gerador v_{i} de H. Então vamos escrever essas equações explícitas para v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 3

Escrever as equações x\cdot v_{i}=0 para x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
Com v_{1}=(0,2,-1,0):
x\cdot v_{1}=0\cdot x_{1}+2x_{2}-1x_{3}+0\cdot x_{4}=2x_{2}-x_{3}=0.
Com v_{2}=(0,0,1,-2):
x\cdot v_{2}=0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+1x_{3}-2x_{4}=x_{3}-2x_{4}=0.
Com v_{3}=(0,-4,-1,6):
x\cdot v_{3}=0\cdot x_{1}-4x_{2}-1x_{3}+6x_{4}=-4x_{2}-x_{3}+6x_{4}=0.
Portanto o sistema a resolver é
\begin{cases} 2x_{2}-x_{3}=0,\\[4pt] x_{3}-2x_{4}=0,\\[4pt] -4x_{2}-x_{3}+6x_{4}=0. \end{cases}]

Passo 4

Antes de resolver o sistema, é útil checar se os geradores de H são linearmente independentes (isso diz a dimensão de H e, por conseqüência, a dimensão de H^{\perp}).
Vou verificar se v_{3} é combinação linear de v_{1} e v_{2}. Procuro \alpha,\beta tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=v_{3}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
(0,2\alpha,-\alpha,0) + (0,0,\beta,-2\beta) = (0,2\alpha,\,-\alpha+\beta,\,-2\beta).
Queremos isso igual a (0,-4,-1,6). Assim
2\alpha=-4,\qquad -\alpha+\beta=-1,\qquad -2\beta=6.
Da primeira, \alpha=-2. Da terceira, -2\beta=6 \beta=-3. Verificando a segunda: -(-2)+(-3)=2-3=-1, que bate. Logo
v_{3}=-2v_{1}-3v_{2},
ou seja, v_{3} é combinação linear de v_{1},v_{2}. Conclusão: os três vetores têm posto 2, então \dim H=2. Como estamos em \mathbb{R}^{4},
\dim H^{\perp}=4-\dim H=2.
Portanto H^{\perp} tem dimensão 2; uma base de H^{\perp} precisa ter exatamente 2 vetores independentes.

Passo 5

Agora volto ao sistema do Passo 3 e resolvo-o passo a passo.
Das duas primeiras equações:
2x_{2}-x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=2x_{2}.
x_{3}-2x_{4}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=2x_{4}.
Igualando as expressões para x_{3} obtemos 2x_{2}=2x_{4}, ou seja
x_{2}=x_{4}.
Substituindo em x_{3}=2x_{2} x_{3}=2x_{2}. A terceira equação do sistema é
-4x_{2}-x_{3}+6x_{4}=0.
Substituindo x_{3}=2x_{2} e x_{4}=x_{2} obtemos
-4x_{2}-2x_{2}+6x_{2}=0,
que é 0=0, portanto não traz nova restrição (confirmando que só havia duas equações independentes, como esperado).
Assim os graus de liberdade são dois: x_{1} é livre (não aparece nas equações) e x_{2} é um parâmetro livre. Escrevendo em termos de parâmetros a=x_{1} e b=x_{2},
x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(a,b,2b,b)=a\,(1,0,0,0)+b\,(0,1,2,1).
Portanto
H^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),\,(0,1,2,1)\}.
Bom: temos uma base explícita, e qualquer vetor de H^{\perp} deve ter a forma (a,b,2b,b).

Passo 6

Agora uso isso para checar as alternativas: um vetor w=(w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}) pertence a H^{\perp} exatamente quando
2w_{2}-w_{3}=0\qquad\text{e}\qquad w_{3}-2w_{4}=0,
ou, equivalentemente, quando w tem a forma (a,b,2b,b).
Vou testar cada vetor que aparece nas opções (fazendo as contas explícitas para não perder pontos na prova).
  • (-4,2,4,4): 2\cdot 2-4=0 OK; 4-2\cdot 4=4-8=-4\neq 0. Então (-4,2,4,4)\notin H^{\perp}.
  • (3,2,3,3): 2\cdot 2-3=1\neq 0. Então (3,2,3,3)\notin H^{\perp}.
  • (-4,4,8,4): 2\cdot 4-8=0 e 8-2\cdot 4=0. Então (-4,4,8,4)\in H^{\perp}.
  • (1,3,6,3): 2\cdot 3-6=0 e 6-2\cdot 3=0. Então (1,3,6,3)\in H^{\perp}.
Resumo: entre os vetores das alternativas, apenas (1,3,6,3) e (-4,4,8,4) pertencem a H^{\perp}. Qualquer alternativa que contenha um vetor que não esteja em H^{\perp} está automaticamente errada.

Passo 7

Como \dim H^{\perp}=2, a base deve ter exatamente dois vetores independentes que pertençam a H^{\perp}. A alternativa (H) propõe justamente o conjunto
\{(1,3,6,3),\,(-4,4,8,4)\}.
Verifico agora que esses dois vetores são linearmente independentes. Suponha que existam c_{1},c_{2} tais que
c_{1}(1,3,6,3)+c_{2}(-4,4,8,4)=(0,0,0,0).
Das primeiras duas coordenadas obtemos
c_{1}-4c_{2}=0,\qquad 3c_{1}+4c_{2}=0.
Da primeira c_{1}=4c_{2}. Substituindo na segunda: 3(4c_{2})+4c_{2}=16c_{2}=0\Rightarrow c_{2}=0\Rightarrow c_{1}=0. Logo são independentes. Como pertencem a H^{\perp} e são dois vetores independentes num espaço de dimensão 2, formam uma base de H^{\perp}.
Todas as outras alternativas falham porque ou contêm vetores que não estão em H^{\perp} ou têm apenas um vetor (dimensão insuficiente) ou vetores dependentes.

Resposta

(H)

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