Q12: Sejam \vec{v}=(-10,-4,6,-1) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • \vec{v}=(-10,-4,6,-1).
  • H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4\mid x-2y+3z+w=0\}.
O que é pedido:
  • Calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
  • Especificamente, informar w_{3}, a terceira coordenada de \vec{w}.
    Dica do enunciado (que vou usar): projetar \vec{v} em H^{\perp} primeiro.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho):
  • Toda decomposição ortogonal diz que qualquer vetor \vec{v} pode ser escrito como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^{\perp} (ou seja, \vec{w}=P_H\vec{v} e \vec{u}=P_{H^{\perp}}\vec{v}).
  • Da igualdade acima segue a fórmula prática:
P_H\vec{v}=\vec{v}-P_{H^{\perp}}\vec{v}.
  • Se H^{\perp} é a reta gerada por um vetor normal \vec{n} (caso comum quando H é dado por uma única equação linear), então a projeção de \vec{v} sobre essa reta é
P_{\operatorname{span}(\vec{n})}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (somatório das componentes multiplicadas) e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.
Por isso é mais fácil projetar primeiro em H^{\perp} quando H^{\perp} é 1-dimensional: basta usar a fórmula acima.

Passo 3

Encontrar um vetor normal \vec{n} a H.
  • A equação de H é x-2y+3z+w=0. Logo um vetor normal é
\vec{n}=(1,-2,3,1),
porque suas componentes são exatamente os coeficientes da equação. Assim H^{\perp}=\operatorname{span}(\vec{n}).

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n} passo a passo.
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-10)\cdot 1+(-4)\cdot(-2)+6\cdot 3+(-1)\cdot 1.
Agora somando termo a termo:
(-10)\cdot 1=-10, \qquad (-4)\cdot(-2)=8, \qquad 6\cdot 3=18, \qquad (-1)\cdot 1=-1.
Somando esses valores:
\vec{v}\cdot\vec{n}=-10+8+18-1.
Calcule passo a passo:
-10+8=-2,\qquad -2+18=16,\qquad 16-1=15.
Portanto
\vec{v}\cdot\vec{n}=15.

Passo 5

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (o quadrado da norma de \vec{n}).
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-2)^2+3^2+1^2=1+4+9+1.
Somando:
1+4=5,\qquad 5+9=14,\qquad 14+1=15.
Logo
\vec{n}\cdot\vec{n}=15.

Passo 6

Calcular a projeção de \vec{v} sobre H^{\perp}=\operatorname{span}(\vec{n}) usando a fórmula:
P_{H^{\perp}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Substituindo os valores obtidos:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{15}{15}=1.
Portanto
P_{H^{\perp}}\vec{v}=1\cdot\vec{n}=\vec{n}=(1,-2,3,1).

Passo 7

Agora usamos \vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-P_{H^{\perp}}\vec{v}.
Subtrai componente a componente:
\vec{w}=(-10,-4,6,-1)-(1,-2,3,1).
Fazendo as subtrações:
-10-1=-11,\qquad -4-(-2)=-4+2=-2,
6-3=3,\qquad -1-1=-2.
Logo
\vec{w}=(-11,-2,3,-2).
A terceira coordenada é a terceira entrada de \vec{w}, portanto
w_{3}=3.

Resposta

(C) 3

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