Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
, a projeção ortogonal de sobre . - Especificamente, informar
, a terceira coordenada de .
Dica do enunciado (que vou usar): projetarem primeiro.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho):
- Toda decomposição ortogonal diz que qualquer vetor
pode ser escrito como
onde
e
(ou seja,
e
).
- Da igualdade acima segue a fórmula prática:
- Se
é a reta gerada por um vetor normal (caso comum quando é dado por uma única equação linear), então a projeção de sobre essa reta é
Aqui
é o produto escalar (somatório das componentes multiplicadas) e
é o quadrado da norma de
.
Por isso é mais fácil projetar primeiro em
quando
é 1-dimensional: basta usar a fórmula acima.
Passo 3
Encontrar um vetor normal
a
.
- A equação de
é . Logo um vetor normal é
porque suas componentes são exatamente os coeficientes da equação. Assim
.
Passo 4
Calcular o produto escalar
passo a passo.
Agora somando termo a termo:
Somando esses valores:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 5
Calcular
(o quadrado da norma de
).
Somando:
Logo
Passo 6
Calcular a projeção de
sobre
usando a fórmula:
Substituindo os valores obtidos:
Portanto
Passo 7
Agora usamos
.
Subtrai componente a componente:
Subtrai componente a componente:
Fazendo as subtrações:
Logo
A terceira coordenada é a terceira entrada de
, portanto
Resposta
(C) 3