Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Vetores em
: -
. -
.
-
- O que é pedido: determinar o ângulo
entre e e assinalar qual alternativa (A)–(G) contém esse ângulo.
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar (dot product).
- Em
, o produto escalar de e é
- Aplicando aos vetores dados:
- Calculando termo a termo:
Passo 3
Normas (comprimentos) dos vetores.
- A norma de
é . Então
- A norma de
é
Passo 4
Fórmula que liga produto escalar ao ângulo e cálculo de
.
- Para vetores em
vale
onde
é o ângulo entre eles (com
). Isolando
,
- Observações úteis para comparar com as opções:
-
porque . Logo . - Compare com
. Para ver se (o que implicaria ), compare quadrados (ambos lados positivos):
-
Multiplicando por
obtemos
de um lado e
do outro; como
conclui-se
Assim
, ou seja
.
- Como já vimos
, isto é . - Combinando:
. (Portanto pertence ao intervalo aberto entre e .)
Passo 5
Interpretação final e verificação numérica (intuição).
- A opção correta é a que contém
com . Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (D). - Para intuição numérica (não necessária na prova, mas útil):
, daí , que está entre e .
Resposta
(D)