Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (4,2,-1,-4) e (3,-2,-3,1) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Vetores em \mathbb{R}^{4}:
    • \mathbf{u}=(4,2,-1,-4).
    • \mathbf{v}=(3,-2,-3,1).
  • O que é pedido: determinar o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} e assinalar qual alternativa (A)–(G) contém esse ângulo.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (dot product).
  • Em \mathbb{R}^{n}, o produto escalar de \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i.
  • Aplicando aos vetores dados:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=4\cdot3 + 2\cdot(-2) + (-1)\cdot(-3) + (-4)\cdot1.
  • Calculando termo a termo:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=12 -4 +3 -4 =7.

Passo 3

Normas (comprimentos) dos vetores.
  • A norma de \mathbf{u} é \|\mathbf{u}\|=\sqrt{\sum u_i^2}. Então
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{4^2+2^2+(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{16+4+1+16}=\sqrt{37}.
  • A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{9+4+9+1}=\sqrt{23}.

Passo 4

Fórmula que liga produto escalar ao ângulo e cálculo de \cos\theta.
  • Para vetores em \mathbb{R}^{n} vale
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles (com 0\le\theta\le\pi). Isolando \cos\theta,
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}=\frac{7}{\sqrt{37}\,\sqrt{23}}=\frac{7}{\sqrt{851}}.
  • Observações úteis para comparar com as opções:
    • \cos\theta>0 porque \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=7>0. Logo 0\le\theta<\pi/2.
    • Compare com \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}. Para ver se \cos\theta<\tfrac{1}{2} (o que implicaria \theta>\pi/3), compare quadrados (ambos lados positivos):
\left(\frac{7}{\sqrt{851}}\right)^2=\frac{49}{851}\quad\text{e}\quad\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.
Multiplicando por 851 obtemos 49 de um lado e \tfrac{851}{4}=212{,}75 do outro; como 49<212{,}75 conclui-se
\frac{49}{851}<\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\frac{7}{\sqrt{851}}<\frac{1}{2}.
Assim \cos\theta<\tfrac{1}{2}, ou seja \theta>\pi/3.
  • Como já vimos \cos\theta>0, isto é \theta<\pi/2.
  • Combinando: \pi/3<\theta<\pi/2. (Portanto \theta pertence ao intervalo aberto entre \pi/3 e \pi/2.)

Passo 5

Interpretação final e verificação numérica (intuição).
  • A opção correta é a que contém \theta com \pi/3<\theta\le\pi/2. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (D).
  • Para intuição numérica (não necessária na prova, mas útil): \cos\theta=\dfrac{7}{\sqrt{851}}\approx 0{,}2400, daí \theta\approx\operatorname{arccos}(0{,}2400)\approx 1{,}33\\ \text{rad}\approx 76{,}1^\circ, que está entre \pi/3\approx1{,}047 e \pi/2\approx1{,}571.

Resposta

(D)

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