O que o problema pede: determinar o valor da entrada a_{11} da matriz A. As alternativas oferecidas são os números de -20 a -13 (com as respectivas letras).
Passo 2
Primeira observação importante (contando como aula rápida): a dimensão do núcleo é 2 (há dois vetores independentes dados), logo, pelo teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade) em \mathbb{R}^3,
\dim(\operatorname{Im}A)=3-\dim(\ker A)=3-2=1.
Isso coincide com a informação dada da imagem (é um subespaço unidimensional). Para uma matriz de posto 1, todas as colunas de A são múltiplos do mesmo vetor gerador da imagem. Como a imagem é gerada por v:=(-2,1,2)^T, podemos escrever cada coluna da matriz A como um escalar vezes v.
Vamos introduzir escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que as colunas de A sejam
\text{col}_j(A)=\alpha_j v,\qquad j=1,2,3.
Passo 3
Isso significa que A pode ser escrito como um produto externo (outer product)
A = v \, r,
onde r é o vetor linha r=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3). Em coordenadas, A_{ij}=v_i r_j. Uma consequência útil desta forma: para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^3,
Ax = v\,(r\cdot x).
Logo o núcleo de A é exatamente o conjunto dos x tais que r\cdot x=0. Ou seja, o vetor linha r é um vetor normal (ortogonal) ao subespaço \ker A.
Passo 4
Portanto r deve ser ortogonal a ambos os vetores que geram o núcleo: a dois vetores do plano \ker A. Para encontrar um vetor ortogonal a ambos, calculamos o produto vetorial entre os vetores do núcleo. Tome
u=(1,-2,0),\qquad w=(1,0,2).
O produto vetorial u\times w é um vetor normal ao plano gerado por u e w. Calculemos: