Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{22}=4,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(1,-2,0),(1,0,2)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(-2,1,2)\}.
A entrada a_{11} vale:
(A) -20
(B) -19
(C) -18
(D) -17
(E) -16
(F) -15
(G) -14
(H) -13

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • a_{22}=4.
  • \ker A=\operatorname{span}\{(1,-2,0),(1,0,2)\}.
  • \operatorname{Im} A=\operatorname{span}\{(-2,1,2)\}.
O que o problema pede: determinar o valor da entrada a_{11} da matriz A. As alternativas oferecidas são os números de -20 a -13 (com as respectivas letras).

Passo 2

Primeira observação importante (contando como aula rápida): a dimensão do núcleo é 2 (há dois vetores independentes dados), logo, pelo teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade) em \mathbb{R}^3,
\dim(\operatorname{Im}A)=3-\dim(\ker A)=3-2=1.
Isso coincide com a informação dada da imagem (é um subespaço unidimensional). Para uma matriz de posto 1, todas as colunas de A são múltiplos do mesmo vetor gerador da imagem. Como a imagem é gerada por v:=(-2,1,2)^T, podemos escrever cada coluna da matriz A como um escalar vezes v.
Vamos introduzir escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que as colunas de A sejam
\text{col}_j(A)=\alpha_j v,\qquad j=1,2,3.

Passo 3

Isso significa que A pode ser escrito como um produto externo (outer product)
A = v \, r,
onde r é o vetor linha r=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3). Em coordenadas, A_{ij}=v_i r_j. Uma consequência útil desta forma: para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^3,
Ax = v\,(r\cdot x).
Logo o núcleo de A é exatamente o conjunto dos x tais que r\cdot x=0. Ou seja, o vetor linha r é um vetor normal (ortogonal) ao subespaço \ker A.

Passo 4

Portanto r deve ser ortogonal a ambos os vetores que geram o núcleo: a dois vetores do plano \ker A. Para encontrar um vetor ortogonal a ambos, calculamos o produto vetorial entre os vetores do núcleo. Tome
u=(1,-2,0),\qquad w=(1,0,2).
O produto vetorial u\times w é um vetor normal ao plano gerado por u e w. Calculemos:
u\times w=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(-4,\,-2,\,2\bigr).
Logo podemos tomar r proporcional a \bigl(-4,-2,2\bigr). Assim existe um escalar k\neq0 tal que
r = k\bigl(-4,-2,2\bigr).]

Passo 5

Agora usemos a informação numérica a_{22}=4. Lembre que A = v r com v=(-2,1,2)^T. Em particular,
a_{22}=v_2\cdot r_2.
Aqui v_2=1 (segunda componente de v) e r_2=k(-2). Portanto
a_{22}=1\cdot\bigl(-2k\bigr)=-2k.
Como a_{22}=4, obtemos a equação
-2k=4 \quad\Rightarrow\quad k=-2.

Passo 6

Com k=-2 temos
r = -2\bigl(-4,-2,2\bigr) = (8,4,-4).
Agora construímos as colunas de A por \text{col}_j(A)=r_j\,v. Como v=(-2,1,2)^T, obtemos:
\text{col}_1 = 8\cdot(-2,1,2)^T = (-16,8,16)^T,
\text{col}_2 = 4\cdot(-2,1,2)^T = (-8,4,8)^T,
\text{col}_3 = -4\cdot(-2,1,2)^T = (8,-4,-8)^T.

Passo 7

Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -16 & -8 & 8\\[4pt] 8 & 4 & -4\\[4pt] 16 & 8 & -8 \end{pmatrix}.
Daqui a entrada pedida é a_{11}=-16.]

Resposta

(E) -16

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