Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma projeção T sobre o eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Dá-se uma rotação R em \mathbb{R}^2 em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30^\circ.
  • Dá-se uma projeção linear T sobre o eixo y; isto é, T(x,y)=(0,y).
  • Pede-se a matriz que representa a transformação composta R T (ou seja, aplicar T primeiro e depois R), entre as alternativas (A) a (H).
Informações trigonométricas úteis que vêm com o ângulo 30^\circ:
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.

Passo 2

Representar as transformações por matrizes na base canônica. Primeiro a rotação R.
A matriz de rotação anti-horária de um ângulo \theta é, na base canônica,
\left[\begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right].
Para \theta=30^\circ usemos \displaystyle c=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} e \displaystyle s=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}. Logo
R=\left[\begin{array}{rr} c & -s\\[4pt] s & c \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right].
Agora a projeção T sobre o eixo y. A projeção envia (x,y) em (0,y). Em termos de imagens dos vetores da base:
T(e_1)=T(1,0)=(0,0),\qquad T(e_2)=T(0,1)=(0,1).
Portanto a matriz de T na base canônica é
T=\left[\begin{array}{rr} 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Entender a ordem da composição e como construir a matriz da composta. A notação R T significa: aplicar T primeiro e depois R. A matriz da composta R\circ T (na base canônica) é o produto matricial R\,T.
Uma maneira muito direta e conceitual de montar a matriz de R T é calcular as imagens de e_1 e e_2 por T e então por R; essas serão as colunas da matriz composta.
Calculemos:
T(e_1)= (0,0).
Aplicando R:
R(T(e_1))=R(0,0)=(0,0).
Em seguida
T(e_2)=(0,1).
Aplicando R a (0,1):
usar a fórmula da matriz R para multiplicar pelo vetor \left[\begin{smallmatrix}0\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right]:
R\begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & -s\\[4pt] s & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\cdot 0 + (-s)\cdot 1\\[6pt] s\cdot 0 + c\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - s\\[6pt] c \end{pmatrix}.
Assim, as colunas da matriz de R T são R(T(e_1)) e R(T(e_2)), isto é:
R T = \left[\begin{array}{rr} 0 & -s\\[4pt] 0 & c \end{array}\right].]

Passo 4

Substituir os valores numéricos de s e c. Lembrando \displaystyle s=\frac{1}{2} e \displaystyle c=\frac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
R T = \left[\begin{array}{rr} 0 & -\dfrac{1}{2}\\[8pt] 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right].
Opcional (verificação por multiplicação direta de matrizes): multiplicando R por T,
R\,T= \begin{pmatrix} c & -s\\[4pt] s & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -s\\[4pt] 0 & c \end{pmatrix},
o que confirma o resultado acima.]

Resposta

(D)

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