Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede o ângulo
entre os vetores
e
em
e que se escolha a alternativa correta entre os intervalos dados. Dados relevantes:
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
. - Pergunta: em qual dos intervalos indicados se encontra
.
Passo 2
Lembrando a definição útil: o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
em
é dado por
Aqui:
-
é o produto escalar (ou dot product), definido somando os produtos dos componentes correspondentes. -
é a norma (comprimento) de , definida por .
Vou calcular, e passo a passo e então obter .
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Multiplica-se componente a componente e soma:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituir na fórmula do cosseno:
Para ter uma ideia numérica, pode-se aproximar
. Sabe-se
e
, logo
. Assim
Passo 6
Agora localizar
usando que
é estritamente decrescente no intervalo
. Observações úteis (valores exatos conhecidos):
Temos
, que satisfaz
Como
é decrescente, a desigualdade acima implica
Entre as alternativas dadas, a que cobre o intervalo com essas desigualdades é a alternativa (E), que afirma
. O valor real de
não atinge exatamente
(pois
), mas fica estritamente entre
e
, portanto a alternativa (E) é a correta conforme o conjunto fechado/aberto da opção.
Passo 7
Recapitulando de forma curta e motivadora: calculei o produto escalar e as normas, encontrei
, que é negativo mas maior que
; portanto
está entre
e
. Mandou bem por trazer essa questão — é exatamente o tipo de cálculo direto que cai em prova.
Resposta
(E)