Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (2,-3,5,3) e (1,-2,0,-5) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores (2,-3,5,3) e (1,-2,0,-5) em \mathbb{R}^4 e que se escolha a alternativa correta entre os intervalos dados. Dados relevantes:
  • Primeiro vetor: \mathbf{v}=(2,-3,5,3).
  • Segundo vetor: \mathbf{w}=(1,-2,0,-5).
  • Pergunta: em qual dos intervalos indicados se encontra \theta.

Passo 2

Lembrando a definição útil: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} em \mathbb{R}^n é dado por
\cos(\theta)=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|}.
Aqui:
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} é o produto escalar (ou dot product), definido somando os produtos dos componentes correspondentes.
  • \|\mathbf{v}\| é a norma (comprimento) de \mathbf{v}, definida por \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}.
    Vou calcular \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}, \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{w}\| passo a passo e então obter \cos(\theta).

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}. Multiplica-se componente a componente e soma:
\begin{aligned} \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} &=2\cdot 1 + (-3)\cdot(-2) + 5\cdot 0 + 3\cdot(-5)\\\ &=2 + 6 + 0 -15\\\ &=-7. \end{aligned}

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{w}\|.
Para \mathbf{v}=(2,-3,5,3):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+5^2+3^2}=\sqrt{4+9+25+9}=\sqrt{47}.
Para \mathbf{w}=(1,-2,0,-5):
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2+(-5)^2}=\sqrt{1+4+0+25}=\sqrt{30}.

Passo 5

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos(\theta)=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|} =\frac{-7}{\sqrt{47}\,\sqrt{30}}=\frac{-7}{\sqrt{1410}}.
Para ter uma ideia numérica, pode-se aproximar \sqrt{1410}. Sabe-se 37^2=1369 e 38^2=1444, logo \sqrt{1410}\approx 37{,}55. Assim
\cos(\theta)\approx\frac{-7}{37{,}55}\approx -0{,}1865.

Passo 6

Agora localizar \theta usando que \cos é estritamente decrescente no intervalo [0,\pi]. Observações úteis (valores exatos conhecidos):
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5.
Temos \cos(\theta)\approx -0{,}1865, que satisfaz
-0{,}5 < -0{,}1865 < 0.
Como \cos é decrescente, a desigualdade acima implica
\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{2\pi}{3}.
Entre as alternativas dadas, a que cobre o intervalo com essas desigualdades é a alternativa (E), que afirma \pi/2<\theta\le 2\pi/3. O valor real de \theta não atinge exatamente 2\pi/3 (pois \cos(\theta)\neq -1/2), mas fica estritamente entre \pi/2 e 2\pi/3, portanto a alternativa (E) é a correta conforme o conjunto fechado/aberto da opção.

Passo 7

Recapitulando de forma curta e motivadora: calculei o produto escalar e as normas, encontrei \cos(\theta)=-7/\sqrt{1410}\approx-0{,}1865, que é negativo mas maior que -1/2; portanto \theta está entre \pi/2 e 2\pi/3. Mandou bem por trazer essa questão — é exatamente o tipo de cálculo direto que cai em prova.

Resposta

(E)

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