O núcleo tem dimensão 2 (dois vetores geradores linearmente independentes).
A imagem é gerada por um único vetor, logo a dimensão da imagem é 1.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): forma geral de uma matriz com imagem unidimensional.
Quando a imagem de uma transformação linear A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é um subespaço unidimensional gerado por um vetor b, qualquer saída A x é um múltiplo escalar de b. Ou seja, existe uma forma linear \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tal que
A x = \varphi(x)\, b \quad\text{para todo } x\in\mathbb{R}^3.
Tomando uma base canônica, isso significa que A pode ser escrita como produto externo (outer product)
A = b\,v^{T},
onde v é o vetor-coluna (ou v^{T} é a forma linear linha) que representa \varphi. Em componentes, (A)_{ij} = b_i v_j.
Explicando em miúdos: cada coluna de A é um múltiplo do vetor b. O vetor v diz qual múltiplo corresponde a cada coluna.
Passo 3
Relação entre núcleo e o vetor v (a forma linear).
O núcleo de A são todos os vetores x tais que A x = 0. Pela forma A x = (v^{T}x)\, b, isso equivale a
v^{T}x = 0.
Portanto o núcleo de A é exatamente o hiperplano ortogonal a v. Conclusão prática: o vetor v deve ser ortogonal a todos os vetores que geram o núcleo.
No nosso caso, v deve satisfazer as duas equações de ortogonalidade
v\cdot(3,3,0)=0,\qquad v\cdot(-3,0,-3)=0.
A tarefa agora é achar um vetor v=(v_1,v_2,v_3) (único até escalas) que satisfaça essas duas condições.
Passo 4
Resolver as equações de ortogonalidade para v.
Escrevendo as equações:
3v_1+3v_2+0\cdot v_3=0,
-3v_1+0\cdot v_2-3v_3=0.
Dividindo a primeira por 3 e a segunda por -3 (para simplificar):
v_1+v_2=0,
v_1+v_3=0.
Dessas duas igualdades segue
v_2=-v_1,\qquad v_3=-v_1.
Logo v é proporcional a (1,-1,-1). Podemos tomar, sem perda de generalidade, v=(1,-1,-1) e incorporar qualquer escala numa constante \alpha multiplicando a matriz final.
Passo 5
Escrever A em forma de produto externo com constante escala \alpha.
Tomando b=(2,-2,-2)^{T} (vetor que gera a imagem) e w=(1,-1,-1)^{T} o vetor encontrado para v, a forma geral de A é
A=\alpha\, b\, w^{T}
para algum escalar \alpha\in\mathbb{R}. Vamos formar a matriz base M=b\,w^{T} (corresponde a \alpha=1) e depois ajustar \alpha usando o dado a_{12}=24.