Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{12}=24,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(3,3,0),(-3,0,-3)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(2,-2,-2)\}.
A entrada a_{31} vale:
(A) 17
(B) 18
(C) 19
(D) 20
(E) 21
(F) 22
(G) 23
(H) 24

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede: encontrar a entrada a_{31} da matriz A.
  • Dados:
    • a_{12}=24.
    • \operatorname{Núcleo} A=\operatorname{span}\{(3,3,0),(-3,0,-3)\}ú.
    • \operatorname{Imagem} A=\operatorname{span}\{(2,-2,-2)\}.
Observações claras (tiradas do enunciado):
  • O núcleo tem dimensão 2 (dois vetores geradores linearmente independentes).
  • A imagem é gerada por um único vetor, logo a dimensão da imagem é 1.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): forma geral de uma matriz com imagem unidimensional.
Quando a imagem de uma transformação linear A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é um subespaço unidimensional gerado por um vetor b, qualquer saída A x é um múltiplo escalar de b. Ou seja, existe uma forma linear \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tal que
A x = \varphi(x)\, b \quad\text{para todo } x\in\mathbb{R}^3.
Tomando uma base canônica, isso significa que A pode ser escrita como produto externo (outer product)
A = b\,v^{T},
onde v é o vetor-coluna (ou v^{T} é a forma linear linha) que representa \varphi. Em componentes, (A)_{ij} = b_i v_j.
Explicando em miúdos: cada coluna de A é um múltiplo do vetor b. O vetor v diz qual múltiplo corresponde a cada coluna.

Passo 3

Relação entre núcleo e o vetor v (a forma linear).
O núcleo de A são todos os vetores x tais que A x = 0. Pela forma A x = (v^{T}x)\, b, isso equivale a
v^{T}x = 0.
Portanto o núcleo de A é exatamente o hiperplano ortogonal a v. Conclusão prática: o vetor v deve ser ortogonal a todos os vetores que geram o núcleo.
No nosso caso, v deve satisfazer as duas equações de ortogonalidade
v\cdot(3,3,0)=0,\qquad v\cdot(-3,0,-3)=0.
A tarefa agora é achar um vetor v=(v_1,v_2,v_3) (único até escalas) que satisfaça essas duas condições.

Passo 4

Resolver as equações de ortogonalidade para v.
Escrevendo as equações:
3v_1+3v_2+0\cdot v_3=0,
-3v_1+0\cdot v_2-3v_3=0.
Dividindo a primeira por 3 e a segunda por -3 (para simplificar):
v_1+v_2=0,
v_1+v_3=0.
Dessas duas igualdades segue
v_2=-v_1,\qquad v_3=-v_1.
Logo v é proporcional a (1,-1,-1). Podemos tomar, sem perda de generalidade, v=(1,-1,-1) e incorporar qualquer escala numa constante \alpha multiplicando a matriz final.

Passo 5

Escrever A em forma de produto externo com constante escala \alpha.
Tomando b=(2,-2,-2)^{T} (vetor que gera a imagem) e w=(1,-1,-1)^{T} o vetor encontrado para v, a forma geral de A é
A=\alpha\, b\, w^{T}
para algum escalar \alpha\in\mathbb{R}. Vamos formar a matriz base M=b\,w^{T} (corresponde a \alpha=1) e depois ajustar \alpha usando o dado a_{12}=24.
Calcule M=b\,w^{T}:
b=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix},\qquad w^{T}=\begin{pmatrix}1 & -1 & -1\end{pmatrix},
M=b\,w^{T}=\begin{pmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot(-1) & 2\cdot(-1)\\[4pt] -2\cdot 1 & -2\cdot(-1) & -2\cdot(-1)\\[4pt] -2\cdot 1 & -2\cdot(-1) & -2\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\[4pt] -2 & 2 & 2\\[4pt] -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Então
A=\alpha\,M=\alpha \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\[4pt] -2 & 2 & 2\\[4pt] -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Determinar \alpha usando a_{12}=24.
A entrada a_{12} da matriz A corresponde ao elemento da linha 1, coluna 2 de \alpha M. No M esse elemento é -2. Logo
a_{12}=\alpha\cdot(-2).
Pelo enunciado a_{12}=24, portanto
\alpha\cdot(-2)=24 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-12.

Passo 7

Encontrar a_{31} (cálculo final).
A entrada a_{31} é o elemento da linha 3, coluna 1 de A=\alpha M. No M esse elemento vale -2. Portanto
a_{31}=\alpha\cdot(-2)=(-12)\cdot(-2).

Resposta

(H) 24

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