Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
- o vetor
; - o subespaço
.
O que se pede:
- calcular
, a projeção ortogonal de sobre ; - em particular, informar o valor de
, a 3ª entrada de .
(O enunciado sugere projetarem — essa dica será usada na resolução.)
Passo 2
Primeira observação útil (intuição): a equação que define
fornece diretamente um vetor normal a
.
A equação tem coeficientes
, portanto podemos tomar o vetor normal
A equação
Esse
gera
, isto é,
(subespaço unidimensional).
Passo 3
Teoria usada (fórmula da projeção ortogonal em linguagem simples):
- Se
é um vetor não nulo e queremos projetar sobre a reta gerada por , a projeção é
Aqui
é o produto escalar padrão: se
e
então
.
Como
é o ortogonal ao espaço gerado por
, temos a decomposição ortogonal
onde
pertence a
e
pertence a
. Assim
Essa é a razão pela qual é mais fácil projetar primeiro em
.
Passo 4
Calcular os produtos escalares necessários. Usando
e
:
Compute passo a passo:
Somando:
Agora
Passo 5
Calcular a projeção de
sobre
:
Logo
Passo 6
Agora obtemos
. Subtraindo coordenada a coordenada:
Compute cada entrada:
Portanto
A 3ª entrada é
.
Passo 7
Confirmação final e ligação com as alternativas: a alternativa que corresponde ao valor
é a letra (A).
Resposta
(A) 1