Q12: Sejam \vec{v}=(4,7,-3,-1) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+3 y-2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • o vetor \vec{v}=(4,7,-3,-1);
  • o subespaço H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+3y-2z+w=0\}.
O que se pede:
  • calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H;
  • em particular, informar o valor de w_{3}, a 3ª entrada de \vec{w}.
    (O enunciado sugere projetar \vec{v} em H^{\perp} — essa dica será usada na resolução.)

Passo 2

Primeira observação útil (intuição): a equação que define H fornece diretamente um vetor normal a H.
A equação x+3y-2z+w=0 tem coeficientes (1,3,-2,1), portanto podemos tomar o vetor normal
\vec{n}=(1,3,-2,1).
Esse \vec{n} gera H^{\perp}, isto é, H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\} (subespaço unidimensional).

Passo 3

Teoria usada (fórmula da projeção ortogonal em linguagem simples):
  • Se \vec{n} é um vetor não nulo e queremos projetar \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}, a projeção é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar padrão: se \vec{a}=(a_1,\dots,a_4) e \vec{b}=(b_1,\dots,b_4) então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+\cdots+a_4b_4.
Como H é o ortogonal ao espaço gerado por \vec{n}, temos a decomposição ortogonal
\vec{v}=\vec{w}+\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v},
onde \vec{w}=P_{H}\vec{v} pertence a H e \operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} pertence a H^{\perp}. Assim
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}.
Essa é a razão pela qual é mais fácil projetar primeiro em H^{\perp}.

Passo 4

Calcular os produtos escalares necessários. Usando \vec{v}=(4,7,-3,-1) e \vec{n}=(1,3,-2,1):
\vec{v}\cdot\vec{n}=4\cdot1+7\cdot3+(-3)\cdot(-2)+(-1)\cdot1.
Compute passo a passo:
4\cdot1=4,\qquad 7\cdot3=21,\qquad (-3)\cdot(-2)=6,\qquad (-1)\cdot1=-1.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=4+21+6-1=30.
Agora
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+3^2+(-2)^2+1^2=1+9+4+1=15.

Passo 5

Calcular a projeção de \vec{v} sobre \vec{n}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}=\frac{30}{15}\,\vec{n}=2\vec{n}.
Logo
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=2(1,3,-2,1)=(2,6,-4,2).

Passo 6

Agora obtemos \vec{w}=P_{H}\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}. Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{w}=(4,7,-3,-1)-(2,6,-4,2).
Compute cada entrada:
4-2=2,\qquad 7-6=1,\qquad -3-(-4)=-3+4=1,\qquad -1-2=-3.
Portanto
\vec{w}=(2,1,1,-3).
A 3ª entrada é \,w_{3}=1.

Passo 7

Confirmação final e ligação com as alternativas: a alternativa que corresponde ao valor 1 é a letra (A).

Resposta

(A) 1

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