Q10: Sejam H=\operatorname{span}\{(1,-3,2,1)\} e \vec{v}=(2,-5,7,-1). Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado define o subespaço
H = \operatorname{span}\{(1,-3,2,1)\}
e o vetor
\vec v = (2,-5,7,-1).
Queremos a projeção ortogonal \vec w = P_H \vec v.
O conteúdo aqui é projeção de um vetor sobre o subespaço gerado por um único vetor u, usando a fórmula
\vec w = \frac{\vec v \cdot u}{u \cdot u}\;u.

Passo 2

Definimos
u = (1,-3,2,1).
Calculamos os produtos internos:
\vec v \cdot u = 2\cdot1 + (-5)\cdot(-3) + 7\cdot2 + (-1)\cdot1 = 2 + 15 + 14 - 1 = 30,
u \cdot u = 1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15.

Passo 3

O escalar de projeção é
\alpha = \frac{\vec v \cdot u}{u \cdot u} = \frac{30}{15} = 2.

Passo 4

Portanto
\vec w = \alpha\,u = 2\,(1,-3,2,1) = (2,-6,4,2).

Passo 5

A terceira componente de \vec w é w_{3} = 4, o que corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C)

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