Q8: Seja A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -3 & -3 & 1 \\\\ 3 & -8 & -10 & 5 \\\\ -2 & 9 & 3 & 4\end{array}\right].
Se (a, b, 2,2) pertence ao núcleo de A, então o valor de a é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1\\\\ 3 & -8 & -10 & 5\\\\ -2 & 9 & 3 & 4 \end{pmatrix}
e diz que o vetor (a,b,2,2) pertence ao núcleo de A, ou seja
A\,(a,b,2,2)^{T} = 0.
O conteúdo é espaço nulo de uma matriz (sistema homogêneo). Vamos montar esse sistema e resolver.

Passo 2

Escrevendo A(a,b,2,2)^T=0 obtemos três equações homogêneas:
a -3b -3\cdot2 + 1\cdot2 = 0,
3a -8b -10\cdot2 + 5\cdot2 = 0,
-2a +9b +3\cdot2 + 4\cdot2 = 0.

Passo 3

Simplificando cada equação:
a -3b -6 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a - 3b - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3b + 4,
3a -8b -20 + 10 = 0 \;\Longrightarrow\; 3a - 8b - 10 = 0,
-2a +9b +6 + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; -2a + 9b + 14 = 0.

Passo 4

Substituindo a = 3b + 4 na segunda equação:
3(3b + 4) -8b -10 = 0 \;\Longrightarrow\; 9b +12 -8b -10 = 0 \;\Longrightarrow\; b +2 = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2.
Esse valor também satisfaz a terceira equação, garantindo consistência.

Passo 5

Substituindo b = -2 em a = 3b + 4:
a = 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados