Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes
onde
(
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto
é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
I - O conjunto das matrizes
II - O conjunto
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dentre os conjuntos dados são subespaços vetoriais. O que define um subespaço é:
- conter o vetor zero;
- ser fechado sob adição;
- ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “o conjunto de matrizes
tais que
”.
- O zero matricial satisfaz
, logo está no conjunto. - Se
e satisfazem e , então com sinal trocado, logo continua valendo a condição. - Se
satisfaz e , então com sinal trocado.
Portanto, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “o conjunto
”.
- Um subespaço deve conter o vetor zero
, mas esse conjunto só contém .
Logo já falha o requisito de conter o zero e, portanto, II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “o conjunto de todos
tais que todas as entradas de
são positivas, onde
é
”.
- O vetor zero satisfaz
, mas não tem todas as entradas positivas, então o zero não está no conjunto. - Além disso, se
satisfaz , então para temos , quebrando a positividade.
Logo, não há fechamento escalar nem mesmo o zero, e III é falsa.
Resposta
(G) Apenas I é verdadeira.