Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}-6 \\\\ 5 \\\\ 7 \\\\ 15\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}-10 \\\\ 14 \\\\ 12 \\\\ 9\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4:
Plano 1:
P_1=\begin{pmatrix}-6\\\ 5\\\ 7\\\ 15\end{pmatrix}+\span\Bigl\{\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}\Bigr\}
Plano 2:
P_2=\begin{pmatrix}-10\\\ 14\\\ 12\\\ 9\end{pmatrix}+\span\Bigl\{\begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix}\Bigr\}
Queremos o ponto de interseção, isto é, resolver
P_1 + s\,v_1 + t\,v_2 \;=\; P_2 + u\,u_1 + w\,u_2
para s,t,u,w, e então extrair x_1.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} -6 + 2s & = -10 -2u + w,\\\ \;5 -3s -t & = \;14 +2u -2w,\\\ \;7 -3s +t & = \;12 -2w,\\\\ 15 +2s +3t & = \;9 +2u -w. \end{cases}
Da terceira equação isolamos
t = 7 -3s -\bigl(12 -2w\bigr) = 3s -2w +5.

Passo 3

Substituímos t=3s-2w+5 na segunda, na primeira e na quarta equações. Após simplificar, chegamos ao sistema em (s,u,w):
\begin{cases} 2s +2u - w = -4,\\\\ -3s -u +2w = 7,\\\\ 11s -2u -5w = -21. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo esse sistema: da segunda equação obtenho
u = -3s +2w -7.
Substituo em 1ª e 3ª, resultando em
\begin{cases} -4s +3w = 10,\\\\ 17s -9w = -35. \end{cases}
Dessa dupla vem s=-1 e w=2. Logo u=0 e então t=3(-1)-2\cdot2+5=-2.

Passo 5

O ponto de interseção é
P = P_1 + s\,v_1 + t\,v_2 = \begin{pmatrix}-6\\\ 5\\\ 7\\\ 15\end{pmatrix} +(-1)\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} +(-2)\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\\ 10\\\ 8\\\ 7\end{pmatrix}.
Portanto x_{1}=-8.

Resposta

(B) -8

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