Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33} ( a_{i j} é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 9 \times 8 é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dentre os conjuntos dados são subespaços vetoriais. O que define um subespaço é:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado sob adição;
  3. ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “o conjunto de matrizes A\in\mathbb{R}^{3\times3} tais que a_{22}=-a_{33}”.
  • O zero matricial satisfaz 0_{22}=-0_{33}, logo está no conjunto.
  • Se A e B satisfazem a_{22}=-a_{33} e b_{22}=-b_{33}, então (A+B)_{22}=a_{22}+b_{22}=-a_{33}-b_{33}=-(a_{33}+b_{33})=(A+B)_{33} com sinal trocado, logo continua valendo a condição.
  • Se A satisfaz a_{22}=-a_{33} e \lambda\in\mathbb{R}, então (\lambda A)_{22}=\lambda a_{22}=-\lambda a_{33}=(\lambda A)_{33} com sinal trocado.
    Portanto, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “o conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^4”.
  • Um subespaço deve conter o vetor zero (0,0,0,0), mas esse conjunto só contém (1,1,1,1).
    Logo já falha o requisito de conter o zero e, portanto, II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “o conjunto de todos \vec v\in\mathbb{R}^8 tais que todas as entradas de A\vec v são positivas, onde A é 9\times8”.
  • O vetor zero satisfaz A\cdot\vec0=\vec0, mas \vec0 não tem todas as entradas positivas, então o zero não está no conjunto.
  • Além disso, se \vec v satisfaz A\vec v>0, então para \lambda<0 temos A(\lambda\vec v)=\lambda(A\vec v)<0, quebrando a positividade.
    Logo, não há fechamento escalar nem mesmo o zero, e III é falsa.

Resposta

(G) Apenas I é verdadeira.

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