Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II - Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
III - Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 em \mathbb R^5 e define dois sistemas lineares:
S1:
\vec v_1 x_1 + \vec v_2 x_2 + \vec v_3 x_3 = \overrightarrow 0
S2:
\vec v_1 x_1 + \vec v_2 x_2 = \vec v_3
Precisamos usar o conceito de independência/dependência linear e como isso afeta existência e unicidade de soluções em sistemas homogêneos e não-homogêneos.

Passo 2

Analisando I: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
Se \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} é LI, então \vec v_3\notin\mathrm{Span}\{\vec v_1,\vec v_2\}. Logo o sistema \vec v_1 x_1 + \vec v_2 x_2 = \vec v_3
é inconsistente (nenhuma solução), não “única”.
Portanto, I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.”
O sistema S_1 é homogêneo com 3 incógnitas. Se \beta é LI, então a única combinação que dá zero é trivial. Ou seja, só tem a solução (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0), isto é, solução única.
Portanto, II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.”
Se \beta é LD, existe relação \alpha_1\vec v_1+\alpha_2\vec v_2+\alpha_3\vec v_3=\vec 0
com algum \alpha_i\neq0. Em particular pode ocorrer que \vec v_3\in\mathrm{Span}\{\vec v_1,\vec v_2\}. Nesse caso o sistema \vec v_1 x_1 + \vec v_2 x_2=\vec v_3
é consistente. Se ainda \vec v_1,\vec v_2 forem independentes, o posto da matriz é 2 igual ao número de incógnitas, garantindo solução única.
Logo é possível S_2 ter solução única.
Portanto, III é verdadeira.

Passo 5

Das três afirmativas, apenas III é verdadeira.

Resposta

(E) Apenas III é verdadeira.

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