Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
tem solução única.
II - Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
III - Se
é LD, então
pode ter solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
em
e define dois sistemas lineares:
S1:
S2:
Precisamos usar o conceito de independência/dependência linear e como isso afeta existência e unicidade de soluções em sistemas homogêneos e não-homogêneos.
Passo 2
Analisando I: “Se
é LI, então
tem solução única.”
Se é LI, então
. Logo o sistema
é inconsistente (nenhuma solução), não “única”.
Portanto, I é falsa.
Se
é inconsistente (nenhuma solução), não “única”.
Portanto, I é falsa.
Passo 3
Analisando II: “Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.”
O sistema é homogêneo com 3 incógnitas. Se
é LI, então a única combinação que dá zero é trivial. Ou seja, só tem a solução
, isto é, solução única.
Portanto, II é falsa.
O sistema
Portanto, II é falsa.
Passo 4
Analisando III: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
Se é LD, existe relação
com algum . Em particular pode ocorrer que
. Nesse caso o sistema
é consistente. Se ainda forem independentes, o posto da matriz é 2 igual ao número de incógnitas, garantindo solução única.
Logo é possível ter solução única.
Portanto, III é verdadeira.
Se
com algum
é consistente. Se ainda
Logo é possível
Portanto, III é verdadeira.
Passo 5
Das três afirmativas, apenas III é verdadeira.
Resposta
(E) Apenas III é verdadeira.