Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 5 \\\\ -3 \\\\ -4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos vetores \displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\;v_2=\begin{pmatrix}-2\\\ 5\\\ -3\\\ -4\end{pmatrix},\;v_3=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -3\\\ 5\end{pmatrix},\;v_4=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^4. Para isso, montamos uma matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o posto (número de pivôs) por eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0\\\\ -2 & 5 & -1 & 1\\\\ 0 & -3 & -3 & -3\\\\ 3 & -4 & 5 & 2 \end{pmatrix}
e usamos o pivô a_{11}=1 para zerar abaixo:
R2 ← R 2+2\cdotR1,
R4 ← R4 – 3\cdotR1.
O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -3 & -3 & -3\\\\ 0 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô em posição (2,2) é 1. Zeramos acima e abaixo:
R1 ← R 1+2\cdotR2,
R3 ← R 3+3\cdotR2,
R4 ← R4 – 2\cdotR2.
Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz está em forma escalonada e há exatamente dois pivôs (linhas não nulas). Logo, o posto de A é 2, que é a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}.

Resposta

(C) 2

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