Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ 8 \\\\ -2\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4 e pede a dimensão do espaço gerado por eles, ou seja:
  • Vetor v_1=\left[\begin{array}{r}1\\\ -1\\\ 0\\\ 2\end{array}\right].
  • Vetor v_2=\left[\begin{array}{r}-1\\\ 3\\\ -1\\\ -1\end{array}\right].
  • Vetor v_3=\left[\begin{array}{r}0\\\ 0\\\ -2\\\ -2\end{array}\right].
  • Vetor v_4=\left[\begin{array}{r}-3\\\ -1\\\ 8\\\ -2\end{array}\right].
O que se pede exatamente: determinar \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}), isto é, quantos desses vetores são linearmente independentes (o número máximo de vetores independentes no conjunto).

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): montar a matriz cujas colunas são os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 e aplicar eliminação de Gauss para encontrar o posto (rank) da matriz. O posto é o número de colunas linearmente independentes, e coincide com a dimensão do span. Observação rápida: operações elementares por linhas não mudam o posto da matriz (pois correspondem a multiplicar à esquerda por uma matriz invertível).

Passo 3

Matriz formada pelas colunas v_1,v_2,v_3,v_4:
A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] -1 & 3 & -1 & -1\\[4pt] 0 & -1 & -2 & 8\\[4pt] 2 & -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Vou reduzir esta matriz por linhas passo a passo para contar pivôs (linhas com primeiro elemento não-nulo à esquerda).]

Passo 4

Passo de eliminação inicial: usar R_1 (primeira linha) para zerar entradas abaixo na primeira coluna.
Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Cálculos:
  • R_2+R_1 = [-1+1,\;3+(-1),\;-1+0,\;-1+(-3)] = [0,2,-1,-4].
  • R_4-2R_1 = [2-2,\;-1-2(-1),\;-2-2\cdot0,\;-2-2(-3)] = [0,1,-2,4].
Após essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -1 & -4\\[4pt] 0 & -1 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para facilitar, troco as linhas R_2 e R_4 (assim obtenho um pivô igual a 1 na posição (2,2)):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4\\[4pt] 0 & -1 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -1 & -4 \end{pmatrix}.
Agora uso R_2 para zerar as entradas na coluna 2 nas linhas 1,3,4.]

Passo 6

Eliminações com R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_2 [0,\;0,\;-2+(-2)=-4,\;8+4=12] R_3=[0,0,-4,12].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2 [0,\;0,\;-1-2(-2) = -1+4=3,\;-4-2\cdot4=-12] R_4=[0,0,3,-12].
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_2 para zerar -1 em (1,2): [1,\;0,\;0+(-2)=-2,\;-3+4=1] R_1=[1,0,-2,1].
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 12\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -12 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora foco na terceira coluna. Para simplificar, escalo R_3 por -\tfrac{1}{4} (isso deixa o pivô igual a 1):
R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{4}R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3=[0,0,1,-3].
Usando este R_3 para eliminar a entrada 3 em (4,3):
R_4 \leftarrow R_4 - 3R_3 \quad\Rightarrow\quad R_4=[0,0,0,-3].
Matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Eliminar os -2 nas posições (1,3) e (2,3) usando R_3:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3 \Rightarrow R_1=[1,0,0,1+2(-3)=1-6=-5].
  • R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3 \Rightarrow R_2=[0,1,0,4+2(-3)=4-6=-2].
Agora:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 9

A última linha R_4=[0,0,0,-3] tem um elemento não nulo na coluna 4, então existe pivô também na quarta coluna. Portanto há pivôs em todas as quatro colunas:\ coluna 1 (em R_1), coluna 2 (em R_2), coluna 3 (em R_3) e coluna 4 (em R_4). Isso significa que as quatro colunas originais são linearmente independentes e o posto da matriz é 4.
Como a dimensão do span dos vetores é exatamente o posto (número de vetores linearmente independentes), concluímos que
\dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\big)=4.

Resposta

(E) 4

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