Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(6)=5 p(4) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}+a_{33}=3\left(a_{i j}\right. é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos três conjuntos e queremos verificar quais deles são subespaços vetoriais:
I – O conjunto W_1 de todos os polinômios de grau no máximo 2 tais que
p(6) = 5\,p(4).
II – O conjunto W_2 de todas as matrizes 3\times3 cuja soma dos elementos da posição (2,2) e (3,3) satisfaz
a_{22} + a_{33} = 3.
III – O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo A x = 0.
Para ser subespaço, cada conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação de I:
O espaço de todos os polinômios de grau \le2 é um espaço vetorial de dimensão 3. A condição
p(6) - 5\,p(4) = 0
é uma equação linear homogênea em p. O polinômio zero satisfaz 0 = 5\cdot0, e se p e q satisfazem a condição, então para quaisquer escalares \alpha,\beta também
(\alpha p + \beta q)(6) - 5(\alpha p + \beta q)(4) = \alpha\bigl(p(6)-5p(4)\bigr) + \beta\bigl(q(6)-5q(4)\bigr) = 0.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Verificação de II:
A condição
a_{22} + a_{33} = 3
é uma equação não-homogênea. O vetor zero (a matriz nula) tem a_{22}+a_{33}=0\neq3, logo o zero não pertence a W_2. Nem há fechamento sob multiplicação por escalar (por exemplo, dobrar uma matriz em W_2 daria soma 6, não 3). Assim, II é falsa.

Passo 4

Verificação de III:
A solução de A x = 0 é justamente o núcleo de A. Sabe-se que o núcleo é um subespaço vetorial, pois contém o vetor zero e é fechado sob soma e produto por escalar. Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Concluindo, apenas I e III são subespaços vetoriais.

Resposta

(C) Apenas I e III são verdadeiras.

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