Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes
onde
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
II - O conjunto das matrizes
III - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos três conjuntos e queremos verificar quais deles são subespaços vetoriais:
I – O conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 tais que
I – O conjunto
II – O conjunto
de todas as matrizes
cuja soma dos elementos da posição
e
satisfaz
III – O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo
.
Para ser subespaço, cada conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Para ser subespaço, cada conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação de I:
O espaço de todos os polinômios de grau é um espaço vetorial de dimensão 3. A condição
O espaço de todos os polinômios de grau
é uma equação linear homogênea em
. O polinômio zero satisfaz
, e se
e
satisfazem a condição, então para quaisquer escalares
também
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Verificação de II:
A condição
A condição
é uma equação não-homogênea. O vetor zero (a matriz nula) tem
, logo o zero não pertence a
. Nem há fechamento sob multiplicação por escalar (por exemplo, dobrar uma matriz em
daria soma
, não
). Assim, II é falsa.
Passo 4
Verificação de III:
A solução de é justamente o núcleo de
. Sabe-se que o núcleo é um subespaço vetorial, pois contém o vetor zero e é fechado sob soma e produto por escalar. Logo, III é verdadeira.
A solução de
Passo 5
Concluindo, apenas I e III são subespaços vetoriais.
Resposta
(C) Apenas I e III são verdadeiras.