Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{\mathbf{4}} :
\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -3 \\\\ 4 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]\right\} \quad e
\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 3 \\\\ 7 \\\\ -7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}:
P_{1}:\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix} +\operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr\}, \quad P_{2}:\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 7\\\ -7\end{pmatrix} +\operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr\}.
Queremos o ponto de interseção, isto é, valores de a,b,c,d tais que
(-1,a,b)\text{–forma de }P_{1} = (2,c,d)\text{–forma de }P_{2}.
Isso gera um sistema linear em a,b,c,d.

Passo 2

Escrevemos um ponto genérico de cada plano coordenada a coordenada:
Para P_{1} com parâmetros a,b:
x_{1}=-1+a+2b,\quad x_{2}=-3-2a+2b,\quad x_{3}=4-2a-b,\quad x_{4}=-2+b.
Para P_{2} com parâmetros c,d:
x_{1}=2+c+2d,\quad x_{2}=3+c+3d,\quad x_{3}=7+c-2d,\quad x_{4}=-7-3c.

Passo 3

Igualamos as quatro componentes de P_{1} e P_{2}:
\begin{cases} -1+a+2b = 2+c+2d,\\\\ -3-2a+2b = 3+c+3d,\\\\ 4-2a-b = 7+c-2d,\\\\ -2+b = -7-3c. \end{cases}

Passo 4

Da última equação:
-2+b = -7-3c \implies b=-5-3c.
Substituímos b nas três primeiras e isolamos a em função de c,d em cada uma, obtendo três expressões de a:
a = 13+7c+2d,\quad a=-8-\tfrac{7}{2}c-\tfrac{3}{2}d,\quad a=1+c+d.

Passo 5

Igualando 1+c+d = 13+7c+2d e 1+c+d = -8-\tfrac{7}{2}c-\tfrac{3}{2}d, resolvemos para c,d:
c=-2,\quad d=0.

Passo 6

Com c=-2 e d=0 segue
b=-5-3(-2)=1, \quad a=1+(-2)+0=-1.
Logo o ponto de interseção vindo de P_{1} é
x_{1}=-1+(-1)+2\cdot1=0, \quad x_{2}=-3-2(-1)+2\cdot1=1, \quad x_{3}=4-2(-1)-1=5, \quad x_{4}=-2+1=-1.

Resposta

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