Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LD, então
tem infinitas soluções.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado define
e dois sistemas lineares dados por
Precisamos verificar as afirmações sobre existência e número de soluções em função de
ser LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Passo 2
Analisando
, que é o sistema homogêneo
sabemos da teoria de sistemas lineares que:
- Se as colunas
são LI, o único vetor solução é o trivial . - Se elas são LD, então a dimensão do espaço solução é maior que zero, logo há infinitas soluções não-triviais.
Passo 3
Da análise de
concluímos que a afirmativa III (“Se
é LD, então
tem infinitas soluções”) é verdadeira.
Passo 4
Agora
é o sistema
Para haver solução é necessário e suficiente que
.
Passo 5
(i) Se
é LI, nenhuma das três vetores está no span das outras duas, então
e
não tem solução. Assim, I é verdadeira.
(ii) Se é LD, pode ocorrer que
dependa linearmente de
enquanto estes últimos permaneçam independentes; nesse caso
de modo único, gerando solução única em
. Logo, II é verdadeira.
(ii) Se
Resposta
Todas as afirmativas I, II e III são verdadeiras, portanto a opção correta é a (D).