Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
II - Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
III - Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\}\subset\mathbb{R}^{6} e dois sistemas lineares dados por
S_{1}:\bigl[\vec v_{1}\;\vec v_{2}\;\vec v_{3}\mid\overrightarrow{0}\bigr] \quad\text{e}\quad S_{2}:\bigl[\vec v_{1}\;\vec v_{2}\mid\vec v_{3}\bigr].
Precisamos verificar as afirmações sobre existência e número de soluções em função de \beta ser LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).

Passo 2

Analisando S_{1}, que é o sistema homogêneo
x_{1}\,\vec v_{1}+x_{2}\,\vec v_{2}+x_{3}\,\vec v_{3}=\overrightarrow{0},
sabemos da teoria de sistemas lineares que:
  • Se as colunas \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} são LI, o único vetor solução é o trivial (0,0,0).
  • Se elas são LD, então a dimensão do espaço solução é maior que zero, logo há infinitas soluções não-triviais.

Passo 3

Da análise de S_{1} concluímos que a afirmativa III (“Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções”) é verdadeira.

Passo 4

Agora S_{2} é o sistema
x_{1}\,\vec v_{1}+x_{2}\,\vec v_{2}=\vec v_{3}.
Para haver solução é necessário e suficiente que \vec v_{3}\in\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}.

Passo 5

(i) Se \beta é LI, nenhuma das três vetores está no span das outras duas, então \vec v_{3}\notin\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\} e S_{2} não tem solução. Assim, I é verdadeira.
(ii) Se \beta é LD, pode ocorrer que \vec v_{3} dependa linearmente de \vec v_{1},\vec v_{2} enquanto estes últimos permaneçam independentes; nesse caso \vec v_{3}\in\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\} de modo único, gerando solução única em S_{2}. Logo, II é verdadeira.

Resposta

Todas as afirmativas I, II e III são verdadeiras, portanto a opção correta é a (D).

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